Для того що б знайти зворотну матрицю можна використовувати два методи: за допомогою алгебраїчних доповнень (метод приєднаної (союзної) матриці) або елементарних перетворень (метод Жордана-Гаусса). Розглянемо як знайти зворотну матрицю за допомогою елементарних перетворень.
Зворотною матрицею називається матриці A -1 при множенні на вихідну матрицю A виходить одинична матриця E.
A · A-1 = A-1 · A = E
Алгоритм знаходження оберненої матриці за допомогою елементарних перетворень:
- Знайти визначник (детермінант) матриці A. Якщо визначник ≠ 0. то зворотна матриця існує. Якщо визначник = 0. то зворотна матриця не існує.
- Дописуємо справа одиничну матрицю
- Робимо прямий хід. Обнуляємо всі елементи (за допомогою елементарних перетворень) лівої матриці стоїть під її головної діагоналі.
- Робимо зворотний хід. Обнуляємо всі елементи (за допомогою елементарних перетворень) лівої матриці стоїть над її головною діагоналі.
- Елементи головної діагоналі лівої матриці, перетворимо в одиниці.
Погляньмо на цей метод на прикладі. Дана матриці 3х3:
Допишемо до нашої матриці зліва одиничну матрицю.
Щоб зробити нулі під елементом a11. віднімемо 1-у рядок з усіх рядків, що розташовані нижче її, при чому, для того, щоб працювати з меншими числами, поділимо кожну з цих рядків на a11.
Щоб зробити нулі над елементом a33. віднімемо 3-й рядок з усіх рядків, що розташовані вище її, при чому, для того, щоб працювати з меншими числами, поділимо кожну з цих рядків на a33.
Щоб зробити нулі над елементом a22. віднімемо 2-у рядок з усіх рядків, що розташовані вище її, при чому, для того, щоб працювати з меншими числами, поділимо кожну з цих рядків на a22.
Поділимо кожен рядок на елемент, який стоїть на головній діагоналі.
Ось ми і знайшли зворотну матрицю.
Інший матеріал по темі
- Знайти обернену матрицю онлайн
- Зворотній матриця за допомогою алгебраїчних доповнень
- Зворотній матриця за допомогою елементарних перетворень