У теорії функцій дійсної змінної велику роль грає поняття заходи точкового безлічі, що узагальнює поняття довжини проміжку, площі прямокутника, обсягу паралелепіпеда і т.д. У цьому розділі ми викладемо теорію вимірювання лінійних обмежених точкових множин, що належить А.Лебегу.
Так як найбільш простий структурою мають відкриті множини, то природно почати саме з них.
Визначення 1.Мерой інтервалу (a, b) називається його довжина, тобто b -a. Це число позначається так:
Лемма 1 .Якщо в інтервалі Dсодержітся кінцеве число взаємно неналегающіх інтервалів d1. d2. dn. то
Доведення. Нехай D = (A, B), dk = (ak. Bk) (k = 1, 2, ..., n).
Не порушуючи спільності, можна вважати, що інтервали dk перенумеровані в порядку зростання лівих кінців, тобто що
Але тоді, очевидно, bk £ ak + 1 (k = 1, 2, ..., n - 1), бо інакше інтервали dk і dk + 1 налягали б один на одного. Тому сума
нейтрально. Але очевидно, що
, звідки і слід лема.
Слідство. Якщо на інтервалеD лежить рахункове безліч взаємно налягають інтерваловdk (k = 1, 2, 3, ...), то
.
[Маючи справу з позитивним розбіжним поруч, ми приписуємо йому суму, рівну + ¥; Тому кожен позитивний ряд має деяку суму. нерівності
k Визначення 2.МеройmGнепустого відкритого ограніченногомножестваG називається сума довжин всіх його складових інтервалів dk: (Не знаючи, звичайно або лічильно безліч k>, ми будемо вживати позначення dk. маючи на увазі, залежно від обставин, під цим символом В силу вищевідзначене слідства,Схожі статті