Гіпотеза, сформульована Пуанкаре в 1904 році, стверджує, що всі одинзв'язні тривимірні поверхні в чотиривимірному просторі, гомотопічно еквівалентні сфері, гомеоморфні їй. Говорячи простими словами, якщо тривимірна поверхня де в чому схожа на сферу, то, якщо її розправити, вона може стати тільки сферою і нічим іншим.
Поверхня k-связна, якщо на ній можна провести k-1 замкнуту криву, яка поділяє її на частини. Наприклад, тор - на ньому можна провести одну замкнуту криву, так що тор не перестане бути тором, це означає, що тор 2-х зв'язкова поверхню.
А ось на сфері - яку замкнену криву ні проводь - вона виріже на ній дірку, що означає, що сфера - однозв'язна поверхню. Простіше кажучи - зв'язність поверхні визначається кількістю присутніх в ній «дірок». У загальному випадку поверхня однозв'язна, якщо на ній будь-яку замкнену криву можна безперервної деформацією стягнути в точку. Інтуїтивно очевидно, наприклад, що поверхня тора цією властивістю не володіє (меридіан або паралель в крапку не стягуються).
Гомеоморфізм - це безперервне перетворення, деформація, якій можна піддати безліч, зберігши при цьому його топологічні властивості (наприклад, k-зв'язність).
Наприклад, чашку можна без зусиль перетворити в тор, але не в сферу, так як в ній є ручка з діркою. Два безлічі, які можна гомеоморфізмом перетворити один в одного, з топологічної точки зору вважаються еквівалентними, якщо завгодно - ці два безлічі - всього лише два погляди на одне і те ж.
Власне кажучи, гіпотеза в якийсь момент переросла в теорему, оскільки це припущення отримало докази для різних випадків. Більш того, в загальному випадку теорему Пуанкаре можна сформулювати наступним чином (нехай знавці мене поправлять, якщо я сказав щось не те): кожна однозв'язна n-мірна поверхню гомеоморфна n-мірної сфері.
З обивательської точки зору можна, мабуть, сказати: будь-яка поверхня без дірок подібна (гомеоморфна) сфері.
Однак ця теорія є окремим випадком більш загального принципу: гіпотези геометризації Терстона суть якого полягає в тому, що для геометричних об'єктів можна визначити рівняння «плавної еволюції» так, що в ході цієї еволюції (покрокової?) Вихідна поверхня буде деформуватися і, в кінцевому підсумку , перетвориться в сферу.
Для нас це цікаво тим, що як би ми не були перекручені спочатку, проте, якщо ми не втратили спочатку задуманий вигляд, ми завжди маємо можливість досягти досконалості.
Ескізи прикріплених зображень