Отже, розберемося, що таке ступінь числа. Для запису твору числа самого на себе кілька разів застосовують скорочене позначення. Так, замість твори шести однакових множників 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 пишуть 4 6 і вимовляють «чотири в шостого ступеня».
4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 = 4 6
Вираз 4 6 називають ступенем числа, де:
• 4 - підстава ступеня;
• 6 - показник ступеня.
У загальному вигляді ступінь з основою "a" і показником "n" записується за допомогою формули:
- Ступенем числа "a" з натуральним показником "n", більшим 1, називається твір "n" однакових множників, кожний з яких дорівнює числу "a".
Запис a n читається так: «а в ступені n» або «n-ий степінь числа a».
Виняток становлять записи:
• a 2 - її можна вимовляти як «а в квадраті»;
• a 3 - її можна вимовляти як «а в кубі».
Вираз 0 0 (нуль в нульовий ступеня) вважають позбавленим змістом.
• (-32) 0 = 1
• 0 234 = 0
• 1 4 = 1
При вирішенні прикладів потрібно пам'ятати, що зведенням до степеня називається знаходження значення ступеня.
Приклад. Піднести до степеня.
• 5 3 = 5 • 5 • 5 = 125
• 2.5 2 = 2.5 • 2.5 = 6.25
• (3) 4 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81
4 4 4 4 4 256
Піднесення до степеня негативного числа
Підстава ступеня (число, яке зводять до рівня) може бути будь-яким числом - позитивним, негативним або нулем.
- При зведенні в ступінь позитивного числа виходить позитивне число.
При зведенні нуля в натуральну ступінь виходить нуль.
При зведенні в ступінь негативного числа в результаті може вийти як позитивне число, так і негативне число. Це залежить від того парним або непарним числом був показник ступеня.
Розглянемо приклади зведення в ступінь негативних чисел.
З розглянутих прикладів видно, що якщо негативне число зводиться в непарну ступінь, то виходить негативне число. Так як твір непарного кількість негативних сомножителей негативно.
Якщо ж негативне число зводиться в парну ступінь, то виходить позитивне число. Так як твір парного кількість негативних сомножителей позитивно.
Негативне число, зведена в парну ступінь, є число позитивне.
- Негативне число, зведена в непарну ступінь, - число від'ємне.
- Квадрат будь-якого числа є позитивне число або нуль, тобто:
- a 2 ≥ 0 при будь-якому a.
• 2 • (- 3) 2 = 2 • (- 3) • (- 3) = 2 • 9 = 18
• - 5 • (- 2) 3 = - 5 • (- 8) = 40
Зверніть увагу!
При вирішенні прикладів на спорудження до рівня часто роблять помилки, забуваючи, що записи (- 5) 4 і -5 4 це різні вирази. Результати зведення в ступінь даних виразів будуть різні.
Обчислити (- 5) 4 означає знайти значення четвертого ступеня негативного числа.
(- 5) 4 = (- 5) • (- 5) • (- 5) • (- 5) = 625
У той час як знайти -5 4 означає, що приклад треба вирішувати в 2 дії:
1. Звести в четверту ступінь позитивне число 5.
5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625
2. Поставити перед отриманим результатом знак «мінус» (тобто виконати дію віднімання).
-5 4 = - 625
Приклад. Обчислити: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37
1. 6 2 = 6 • 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) • (- 1) • (- 1) • (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37
Порядок дій в прикладах зі ступенями
Обчислення значення називається дією зведення в ступінь. Ця дія третього ступеня.
- У висловлюваннях зі ступенями, що не містять дужки, спочатку виконують зведення в ступінь, потім множення і ділення, а в кінці додавання і віднімання.
- Якщо у виразі є дужки, то спочатку в зазначеному вище порядку виконують дії в дужках, а потім решту кроків в тому ж порядку зліва направо.
Ступінь з натуральним показником володіє декількома важливими властивостями, які дозволяють спрощувати обчислення в прикладах зі ступенями.
Властивість № 1
твір ступенів
- При множенні ступенів з підставами підставу залишається без змін, а показники ступенів складаються.
- a m • a n = a m + n. де a - будь-яке число, а m, n - будь-які натуральні числа.
Дана властивість ступенів також діє на твір трьох і більше ступенів.
Приклади.
• Спростити вираз.
b • b 2 • b 3 • b 4 • b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Уявити у вигляді ступеня.
6 15 • 36 = 6 15 • 6 2 = 6 15 + 2 = 6 17
• Уявити у вигляді ступеня.
(0,8) 3 • (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
- Зверніть увагу, що в зазначеному властивості йшлося тільки про примноження ступенів з підставами. Воно не відноситься до їх складання.
- Не можна замінювати суму (3 3 + 3 2) на 3 3. Це зрозуміло, якщо порахувати 3 3 = 27 і 3 2 = 9; 27 + 9 = 36, а 3 +5 = 243
- При розподілі ступенів з підставами підставу залишається без змін, а з показника ступеня діленого віднімають показник ступеня дільника.
- a m • a n = a m-n. де a - будь-яке число, не рівне нулю, а m, n - будь-які натуральні числа такі, що m> n.
Приклади.
• Записати приватне у вигляді ступеня
(2b) 5. (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2
• Приклад. Вирішити рівняння. Використовуємо властивість приватного ступенів.
3 8. t = 3 4
Відповідь: t = 3 +4 = 81
Користуючись властивостями № 1 і № 2, можна легко спрощувати вирази і робити обчислення.
• Приклад. Спростити вираз.
4 5m + 6 • 4 m + 2. 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2. 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5
Зверніть увагу, що у властивості 2 йшлося тільки про розподіл ступенів з підставами.
Не можна замінювати різницю (4 3 - 4 2) на 4 1. Це зрозуміло, якщо порахувати 4 3 = 64 і 4 2 = 16; 64 - 16 = 48, а 4 +1 = 4
Будьте уважні!
- При зведенні ступеня в ступінь підставу ступеня залишається без зміни, а показники ступенів перемножуються.
- (A n) m = a n • m. де a - будь-яке число, а m, n - будь-які натуральні числа.
• Приклад.
(A 4) 6 = a 4 • 6 = a 24
• Приклад. Уявити 3 20 ст вигляді ступеня з основою 32.
По властивості зведення ступеня в ступінь відомо, що при зведенні в ступінь показники перемножуються, значить:
- При зведенні ступеня в ступінь твори в цю ступінь зводиться кожен множник і результати перемножуються.
- (A • b) n = a n • b n. де a, b - будь-які раціональні числа; n - будь-яке натуральне число.
(6 • a 2 • b 3 • c) 2 = 6 2 • a 2 • 2 • b 3 • 2 • з 1 • 2 = 36 a 4 • b 6 • з 2
(- x 2 • y) 6 = ((- 1) 6 • x 2 • 6 • y 1 • 6) = x 12 • y 6
Зверніть увагу, що властивість № 4, як і інші властивості ступенів, застосовують і в зворотному порядку.
(A n • b n) = (a • b) n
Тобто, щоб перемножити ступеня з однаковими показниками можна перемножити підстави, а показник ступеня залишити незмінним.
• Приклад. Обчислити.
2 4 • 5 4 = (2 • 5) 4 = 10 4 = 10 000
• Приклад. Обчислити.
0,5 16 • 2 16 = (0,5 • 2) 16 = 1
Приклад зведення в ступінь десяткового дробу.
4 21 • (-0,25) 20 = 4 • 4 20 • (-0,25) 20 = 4 • (4 • (-0,25)) 20 = 4 • (- 1) 20 = 4 • 1 = 4
- Щоб звести в ступінь приватне, можна звести до цього степеня окремо ділене і дільник, і перший результат розділити на другий.
- (A. B) n = a n. b n. де a, b - будь-які раціональні числа, b ≠ 0, n - будь-яке натуральне число.
• Приклад. Уявити вираження у вигляді приватного ступенів.
(5. 3) 12 = 5 12. 3 12
- При зведенні в ступінь дробу потрібно звести в ступінь і чисельник, і знаменник.
Приклади зведення в ступінь дробу.
Як звести в ступінь змішане число
Щоб звести в ступінь змішане число, спочатку позбавляємося від цілої частини, перетворюючи змішане число в неправильну дріб. Після цього зводимо в ступінь і чисельник, і знаменник.
Приклад.
Формулу зведення в ступінь дробу застосовують як зліва направо, так і справа наліво, тобто, щоб розділити один на одного ступеня однаковими показниками, можна розділити одну підставу на інше, а показник ступеня залишити незмінним.
• Приклад. Знайти значення виразу раціональним способом.
