Зауваження. Мода може не існувати, мати єдине значення (такі розподілу називаються унімодальне) або мати безліч значень (полімодальні розподілу). Наявність більш ніж однієї моди, часто вказує на різнорідність статистичного матеріалу, який був покладений в основу дослідження.
Приклад 2.1.22. Дана щільність ймовірності СВНТ X (). Знайти моду цієї випадкової величини.
Рішення. Функція щільності визначена і диференційована на. Знайдемо точку максимуму. Для цього візьмемо її похідну:
Критичні точки знаходяться з умови. . або. Очевидно, що (рис. 2.1.9):
Таким чином, - точка максимуму функції. тобто .
Зауважимо, що визначати значення константи a не потрібно, тому що при максимум функції не залежить від її числового значення.
Определеніе.Медіаной випадкової величини Х називається дійсне число. задовольняє умові.
Таким чином, медіана - корінь рівняння.
Зауваження. 1) Ця характеристика застосовується, як правило, тільки для СВНТ, і геометрично медіана - це абсциса тієї точки на осі Оx. для якої площі під графіком функції щільності. що лежать зліва і праворуч від неї, однакові і рівні 0,5.
2) В разі симетричного розподілу (що має моду) три характеристики - математичне очікування (якщо воно існує), мода і медіана збігаються.
3) Рівняння може мати безліч коренів, тому медіана може визначатися неоднозначно.
Приклад 2.1.23. Дана щільність розподілу випадкової величини Х:
Знайти моду і медіану випадкової величини Х.
Рішення. Очевидно, що розподіл симетрично, тому що графік щільності при є параболою. Віссю симетрії є вертикальна пряма. Тому.
Приклад 2.1.24. Дана щільність розподілу випадкової величини Х:
Знайти моду і медіану випадкової величини Х.
Рішення. 1) Знайдемо спочатку моду СВНТ X. Очевидно, що точку максимуму функції слід шукати на інтервалі. Щільність визначена і двічі диференційована для всіх. Знайдемо на цьому інтервалі похідні першого і другого порядків:
Критичні точки знаходяться з умови. . або. Оскільки. а. то - єдина критична точка. Так як . то - точка максимуму щільності розподілу. Значить,.
2) Очевидно, що медіану слід шукати на інтервалі. Для її знаходження можна спочатку скласти функцію розподілу, а потім вирішити рівняння. Однак простіше поступити таким чином:
За визначенням медіани. тому отримуємо рівняння:
З чотирьох коренів цього рівняння тільки один. тому.
Определеніе.Квантúллю порядку р розподілу СВНТ Х називається дійсне число. задовольняє умові.
Приклад 2.1.25. Знайти квантиль порядку для СВНТ X. має щільність ймовірності
Рішення. На відрізку функція розподілу СВНТ X має вигляд
і тому є безперервною і строго монотонної на відрізку. Відповідно до властивістю квантилі знаходимо з рівняння. Звідки.
Всі теми даного розділу:
випадкової величини
Нехай (, F, P) - довільне імовірнісний простір. визначення
Дискретні випадкові величини
Визначення. Випадкова величина називається дискретною, або дискретного типу (скорочено СВДТ), якщо безліч її можливих значень звичайно або лічильно. простий
Безперервні випадкові величини
Розглянемо випадок, коли безліч можливих значень випадкової величини незліченно. Визначення. Випадкова величина X з безперервною функцією розподілу
Числові характеристики випадкових величин
У попередніх пунктах була описана вичерпна характеристика будь випадкової величини - її закон розподілу. Універсальним видом закону розподілу випадкової величини є функ
Моменти розподілу випадкової величини
Серед числових характеристик особливе значення мають моменти - початкові і центральні. Визначення. Початковим моментом s-го порядку випадкової величини Х звані
Статистичне тлумачення математичного очікування
Нехай в деякій лотереї є один виграш, розмір якого випадковий і дорівнює або. або
вправи
2.1.1. Функція розподілу випадкової величини X неперервна. Чи може випадкова величина X бути СВДТ? 2.1.2. Випадкова величина X ін
Біноміальний розподіл
Визначення. СВДТ Х має біноміальний розподіл, якщо її можливі значення (реалізації)
розподіл Пуассона
Визначення. СВДТ Х має розподіл Пуассона з параметром. ес
Найпростіший пуассоновский потік
На практиці часто зустрічаються ситуації, де має місце розподіл Пуассона. Розглянемо наступну задачу. Нехай на осі часу 0t випадковим чином виникають точки - моменти появ
геометричний розподіл
Визначення. СВДТ Х має геометричний розподіл, якщо її можливі значення (реалізації)
вправи
Біноміальний розподіл 2.1.16.Вероятность шлюбу при виробництві приладів становить 10%. З якою ймовірністю серед 6 приладів, взятих для контролю, виявиться р
Рівномірний розподіл
Визначення. СВНТ Х розподілена рівномірно на відрізку. якщо пліт
Показовий (експоненційний) розподіл
Визначення. СВНТ Х має показове (експоненціальне) розподіл з параметром
Нормальний розподіл
Визначення. СВНТ Х має нормальний (гауссовское) розподіл з параметрами
Асиметрія і ексцес
Нормальний розподіл має широке поширення в прикладних задачах. Тому при вивченні розподілів, відмінних від нормального, виникає необхідність кількісно оцінити цю різницю.
вправи
Рівномірний розподіл 2.1.36.Случайная величина X має рівномірний розподіл на відрізку