Поняття довжини відрізка і її вимірювання були вже використані неодноразово, зокрема, коли розглядали натуральне число як міру величини. У цьому пункті ми тільки узагальнимо представле-ня про довжину відрізка як геометричній величиною.
В геометрії довжина - це величина, що характеризує протяжність відрізка, а також інших ліній (ламаної, кривої). У нашому курсі буде розглянуто тільки поняття довжини відрізка. При його визначенні будемо використовувати запроваджену в темі 18 поняття «відрізок складається з відрізків».
Определеніе.Дліной відрізка називається позитивна величина, що володіє наступними властивостями: 1) рівні відрізки мають рівні довжини; 2) якщо відрізок складається з двох відрізків, то його довжина дорівнює сумі довжин його частин.
Ці властивості довжини відрізка використовуються при її вимірі. Щоб виміряти довжину відрізка, потрібно мати одиницю довжини. В геометрії такою одиницею є довжина довільного відрізка.
Як показано в темі 18, результатом вимірювання довжини відрізка є позитивне дійсне число - його називають чисельним значеніемдліни відрізка при обраному об'єкті довжини або мірою довжини даного відрізка. Якщо позначити довжину відрізка буквою X, одиницю довжини - Е, а отримується при вимірі дійсне число - буквою а, то можна записати: а = МЕ (Х) або Х = а # 8729; Е.
Отримується при вимірі довжини відрізка позитивне дійсне число повинне задовольняти ряду вимог:
1. Якщо два відрізки рівні, то чисельні значення їх довжин теж рівні.
2. Якщо відрізок х складається з відрізків х1 і х2. то чисельне значення його довжини дорівнює сумі чисельних значень довжин відрізків х1 і х2.
3. При заміні одиниці довжини чисельне значення довжини даного відрізка збільшується (зменшується) у стільки разів, у скільки нова одиниця менше (більше) старої.
4. Чисельне значення довжини одиничного відрізка дорівнює одиниці.
Доведено, що позитивний дійсне число, яке є мірою довжини заданого відрізка, завжди існує і єдино. Доведено також, що для кожного позитивного дійсного числа існує відрізок, довжина якого виражається цим числом.
Зауважимо, що часто, заради стислості промови, чисельне значення довжини відрізка називають просто довжиною. Наприклад, в завданні «Знайдіть довжину даного відрізка» під словом «довжина» мається на увазі чисельні-ве значення довжини відрізка. Не менш часто допускають і іншу вільність - кажуть: «Виміряй відрізок» замість «Виміряй довжину відрізка».
Завдання. Побудувати відрізок, довжина якого 3,2Е. Яким буде чисельне значення довжини цього відрізка, якщо одиницю довжини Е збільшити в 3 рази?
Рішення. Побудуємо довільний відрізок і будемо вважати його одиничним. Потім побудуємо пряму, відзначимо на ній точку А і відкладемо від неї 3 відрізка, довжини яких дорівнюють Е. Одержимо відрізок АВ, довжина якого 3Е (рис. 1).
Щоб отримати відрізок довжиною 3,2Е, треба ввести нову одиницю довжини. Для цього одиничний інтервал треба розбити або на 10 рівних частин, або на 5, оскільки 0,2 =. Якщо від точки В відкласти відрізок, рівний одиничного, то довжина відрізка АС буде дорівнює 3,2Е.
Щоб виконати другу вимогу за-дачі, скористаємося властивістю 3, згідно з яким при збільшенні одиниці довжини в 3 рази чисельне значення довжини даного відрізка зменшується в 3 рази. Розділимо 3,2 на 3, отримаємо:
3,2. 3 == 3. 3 = = 1. Таким чином, при одиниці довжини 3Е чисельне значення довжини побудованого відрізка АС дорівнюватиме 1.