В одній зі сцен у фільмі «Гаррі Поттер і Дари Смерті» герої пробираються в підземелля чарівного банку Грінготс, щоб забрати з сейфа Лестранж меч і чашу. В якості одного з рівнів захисту від грабіжників на скарби накладено закляття Множення і Палаючої руки. Все, до чого доторкається злодій, розжарюється до білого і множиться. «Футурист» пояснює, як працює це заклинання з точки зору математики і чому воно повинно було вбити Гаррі за лічені секунди.
- Я обпеклася! - простогнала Герміона, дуючи на пальці.
- Закляття Множення і Палаючої руки! - вигукнув Крюкохват. - Все, до чого ви доторкнетеся, буде обпалювати вас і множитися, але копії нічого не варті, а якщо їх стане занадто багато, нас просто задавить вагою золота!
(С) Джоан Роулінг «Гаррі Поттер і Дари Смерті»
Ось як ця сцена представлена у фільмі.
Ми бачимо, що на кожен предмет доводиться чотири копії. Таким чином, за один крок дії заклинання предметів стає п'ять (якщо вважати оригінал). Кожен з них також реплицируется, виробляючи ще чотири своїх копії. Однак розбагатіти в такий спосіб неможливо: копії дорогоцінних кубків та страв самі по собі нічого не варті. Крім того, об'єкти множаться з неймовірною швидкістю і розжарюються: таким чином, грабіжник або підсмажиться, або буде розчавлений вагою золота.
Давайте розберемо, як саме це буде відбуватися.
Якщо переглянути сцену в Ґрінґотсі кілька разів і провести деякі вимірювання, можна помітити наступне. Реплікація об'єктів відбувається один раз в 2,5 секунди. Приблизно на 48 секунді множення скарбів призупиняється на п'ять секунд і поновлюється. Сцена реплікації триває близько 93 секунд, при цьому кімната виявляється не до кінця заповненої коштовностями.
Обчислити обсяг кожного окремого скарби важко в силу їхнього різноманіття, тому нам доведеться змоделювати певний стандарт. Припустимо, що наша дорогоцінна начиння була переплавлена на сфери 6 см з масою 200 г. Тепер можна з чистою совістю приступати до математичного моделювання.
Почнемо з дискретної моделі множення. Спробуємо вибудувати послідовність подій з кроком в 2,5 секунди.
- Ось у нас 1 скарб.
- 2,5 секунди очікування.
- Тепер їх 5.
- Ще 2,5 секунди очікування.
- Кожна копія відтворила ще 4 своїх копії. Таким чином, предметів стало 25.
- Через 2,5 секунди очікування кожен об'єкт знову упятерілся. Тепер на підлозі підземелля лежать 125 скарбів, не відрізняються один від одного.
Принцип зрозумілий: ми бачимо, що скарбниця зростає по експоненті ( «Футурист» вже пояснював, що це, в одній зі своїх статей). Точного числа циклів множення ми не знаємо, тому нам доведеться використовувати змінну, щоб вивести формулу реплікації. Якщо прийняти n за кількість множень, а за підсумкове кількість предметів - N, ми отримуємо такий вираз:
Так як множення відбувається кожні 2,5 секунди, я можу помножити число циклів (n) на 2,5, щоб отримати залежність кількості скарбів від часу. Ось як виглядають наші міркування на графіку (показати графік - трикутник, пограти з кодом - олівець).
Всього за 10 секунд один скарб розмножити 625 своїх копій. Однак не варто забувати, що по шляху до заповітних артефактів герої постійно щось перекидали, хапали і рухали - тому начиння стало в рази більше.
Спробуємо створити модель експоненціального зростання.
У цій формулі t - загальний час тривалості сцени з реплікацією, т - період реплікації (ті самі 2,5 секунди, за які скарбів стає 5).
Якщо уявити числову модель і експонентну функцію на одному малюнку, ви побачите, що вони майже збігаються.
Не сумнівайтеся, Гаррі Поттер і його друзі завжди виходять сухими з води! Однак уявіть, що з ними було б, якби їм не вистачило кількох секунд. Питання - скільки?
Давайте сформулюємо питання по-іншому: коли ж кімната повинна заповнитися начинням? Відповісти на це питання можна, знаючи обсяг кімнати і обсяг однієї дорогоцінної посудини. На жаль, Джоан Роулінг не приводила в книзі креслень банку Грінготс з усіма вимірами, тому нам доведеться фантазувати. Припустимо, висота залу дорівнює 4 м, а його підлогу - квадрат 15 × 15 м. Обсяг такого приміщення дорівнює 900 м³. Тепер розрахуємо обсяг одного реплицируемой об'єкта (нагадаємо, для нас це сфери радіусом 6 см): він буде дорівнює приблизно 9 x 10 -4 м 3. Ми не будемо брати в розрахунок порожнечі між сферами (припустимо, що вони заб'ють кімнату, як кубики - не полишаючи в ній навіть тонких повітряних прошарків), тому необхідний обсяг для п'яти предметів перевищить обсяг одного елемента всього лише в 5 разів.
Тепер уявімо це в вигляді виразу (стартове кількість реплицируемой предметів - 1 шт.).
У цьому виразі V0 - об'єм однієї посудини. Тепер спробуємо написати формулу для знаходження часу, за яке скарби заповнять зал від підлоги до стелі.
Підставивши в цей вираз відомі нам значення, ми отримаємо 21,5 секунди. Але як же так? Адже сцена тривала 48 секунд, а вони все ще живі! Що ж, спишемо це на особливості режисури і психологічні особливості сприйняття героями часу в стресовій ситуації. і ще трохи пограємо з числами.
Підставивши горезвісні 48 секунд в вираз, ми отримаємо обсяг скарбниці, рівний 2.4 x 10 10 м 3. Страшно уявити, скільки місця в підземеллі займе цей золотий Вавилон.
Припустимо, ця скарбниця буде примножуватися в кімнаті, скажімо, 104 м 2 без стелі. Цікаво, якої висоти буде золотий стовп через 48 секунд? Розділивши обсяг скарбниці на 104 м 2. ми отримаємо 2,4 х 106. Саме 2400 км або одна третина радіуса Землі. Це вам не Ельдорадо який-небудь!
За скільки часу обсяг скарбниці стане рівним обсягом Землі?
Оцінити загальну масу скарбів через 48 секунд (нагадаємо, один скарб важить приблизно 250 г).
Якщо скарб розширюється в кімнаті 100 × 100 м (без стелі), через скільки часу скарби на дні почнуть кришитися?
Розглянемо енергетичну еквівалентність маси. За скільки часу можна зробити цю купу золота рівній Сонця по вихідної потужності?