§1. Завдання типу: «Переправи», «Фальшивий об'єкт», «Переливання»
1.1. Завдання типу «Переправи»
Завдання типу «переправи» - одні з найстаріших логічних задач. Наприклад, найдавніша з них - «Вовк, коза і капуста» - зустрічається в творах VIII століття в творах англосаксонського математика Алкуина (бл. 735-804).
Завдання 1.1.1. Вовк, коза і капуста
Условіезадачі: Один чоловік мав перевезти через річку вовка, козу і качан капусти. І не вдалося йому знайти іншого судна, крім як такого, яке могло витримати тільки двох з них. Не можна було вовка залишити з козою, а козу з капустою. Завдання - переправити всіх неушкодженими.
Принцип рішення: Розглянемо пари «вовк - коза» і «коза - капуста».
У першій парі присвоюємо вовку індекс А1, а козі - П1.
У другій парі присвоюємо кіз індекс А2, а капусті - П2.
Отже, у вовка індекс - А1, у кози - П1А2, а у капусти - П2.
Спочатку перемещаем об'єкт, який є активним і пасивним одночасно (в даному випадку козу), потім повертаємося назад, беремо будь-який залишився об'єкт (вовка або капусту), перевозимо на інший берег, беремо об'єкт з індексами А і П (козу), переправляємо назад, беремо інший об'єкт (капусту або вовка), переправляємо на інший берег, повертаємося назад, забираємо об'єкт з індексами А і П (козу), і переправляємо на інший берег.
Ще одна цікава задача - «Батьки і діти».
Завдання 1.1.2. Батьки та діти
Условіезадачі: Двоє друзів вирушили на екскурсію, і кожен взяв з собою свого сина. В дорозі вони повинні були переправитися через річку за допомогою човна, яка могла перенести щонайбільше 100 кг. Кожен з друзів разом з рюкзаком важить 100 кг, а кожен з хлопчиків 50 кг. Яким чином вони переправилися через річку?
Принцип рішення: Спочатку переправляються обидва сини, потім один з них повертається. Переправляється один з друзів, а повертається другий син. Потім знову переправляються обидва сини, один з них повертається, переправляється другий друг, а другий син повертається. В кінці переправляються обидва сини.
Є ще одна старовинна задача, трохи схожа на попередню - «Військовий загін»
Завдання 1.1.3. військовий загін
Условіезадачі: Невеликий військовий загін підійшов до річки, через яку необхідно було переправитися. Є човен, в якій сидять два хлопчики. Човен може вмістити двох хлопчиків або одного солдата. Як перевезти всіх солдатів через річку?
Принцип рішення: У цьому завданню можна скласти цикл: два хлопчика на інший берег - один повертається - один солдат переходить - другий хлопчик повертається - другий солдат переходить. У цьому завданню кількість солдат не має значення.
Четверта задача зустрічається в одному з творів XIII століття.
Завдання 1.1.4. Каприз трьох дівчаток
Условіезадачі: Через річку хочуть переправитися три батька і три дочки. Є одне двомісне човен. Як їм переправитися через річку, щоб жодна з дочок не опинилася на березі з чужими батьками без свого?
Принцип рішення: переправляли дві дівчинки. Одна з них повертається і перевозить третю. Одна з дівчаток повертається і залишається зі своїм татом, а два інших тата переправляються на той берег. Один тато зі своєю дочкою повертається на перший берег, дівчинка залишається, а два тата відправляються на другий берег. Переїжджає дівчинка і забирає з собою другу дівчинку і за останньою дівчинкою їде або ЇЇ батько, або її подруга.
Наступне завдання - одна з найлегших завдань даного типу.
Завдання 1.1.5. нічна переправа
Условіезадачі: Сім'я вночі підійшла до мосту. Папа може перейти його за 1 хв, мама - за 2 хв, син - за 5 хв і бабуся - за 10 хв. У них є один ліхтарик. Міст витримує тільки двох. Як їм перейти міст за 17 хвилин, за умов, що якщо переходять двоє, то вони йдуть з меншою з їх швидкостей, рухатися без ліхтарика не можна, перекидати ліхтарик через річку не можна, світити здалеку і носити один одного на руках заборонено?
Принцип рішення: Переходять тато і мама (2 хв), потім тато з ліхтариком повертається (1 хв), переходять бабуся і син (10 хв), мама з ліхтариком повертається (2 хв), переходять тато і мама (2 хв).
1.2. Завдання типу «фальшивий об'єкт»
Завдання цього типу також відомі з давніх часів. В основному вони стосуються монет, наприклад, завдання про 12 золотих монетах:
Завдання 1.2.1. Завдання про 12 монетах
Условіезадачі: Є 12 золотих монет. Одна з них - фальшива - легше інших. Знайти фальшиву монету за 3 зважування.
Принцип рішення: Ділимо 12 монет на 3 рівні частини. Беремо дві будь-які групи і кладемо на терези. Якщо ваги в рівновазі, значить фальшива монета в третій групі. Якщо ваги не в рівновазі, значить, подальшого дослідження підлягає група монет, яка легше. Ділимо досліджувану групу монет навпіл і зважуємо. Далі досліджуємо групу монет, яка виявилася легше після результату другого зважування. Знову ділимо навпіл і зважуємо втретє.
Є ускладнений варіант цього завдання:
Завдання 1.2.2. Діаманти і ваги
Условіезадачі: Є 242 діаманта. Один з них - природний - легше інших. Знайти природний діамант за 5 зважувань.
Принцип рішення: Кладемо на ваги по 81 діаманту для виділення 81 або 80 діамантів. Другий раз кладемо по 27 діамантів для виділення 27 або 26 діамантів. Третій раз кладемо по 9 діамантів для отримання 9 або 8 досліджуваних діамантів. Четвертий раз кладемо на терези по 3 діаманти для виділення 3 або 2 досліджуваних діамантів. І п'ятим зважуванням виділяємо природний діамант, опускаючи на ваги по 1 діаманту.
Також є більш складний варіант завдання про 12 монетах:
Завдання 1.2.3. Завдання про 12 монетах (ускладнений варіант)
Условіезадачі: Є 12 золотих монет. Одна з них - фальшива, але не відомо, легше вона чи важче інших. Знайти фальшиву монету за 3 зважування і встановити, легше вона чи важче.
Принцип рішення: Складність завдання в тому, що невідомо, легше чи важче фальшивий об'єкт. Ділимо на 3 групи. На чаші терезів кладемо монети №№ 1, 2, 3, 4 і №№ 5, 6, 7, 8. Можливі два випадки:
Випадок 1. Ваги в рівновазі. Отже, фальшива монета в третій групі монет з №№ 9, 10, 11, 12. Порівняємо вага трьох з них, наприклад, №№ 9, 10, 11 з монетами №№ 1, 2, 3. Якщо ваги в рівновазі, то фальшива монета - № 12, і якщо порівняти її з № 1, то можна визначити, легше вона чи важче. Якщо ж ваги не в рівновазі, то фальшива монета - одна з №№ 9, 10, 11, причому за матеріальним становищем чашки відразу можна з'ясувати, легше чи важче фальшива монета. Потім кладемо на терези по одній монеті і визначаємо фальшиву монету.
Випадок 2. Перше зважування не привело до рівноваги. Нехай перетягнула чашка з монетами №№ 1, 2, 3 і 4. Тоді фальшива монета серед №№ 1, 2, 3, 4 і більше важка, або вона серед монет №№ 5, 6, 7, 8 і легша. Отже, монети №№ 9, 10, 11, 12 - справжні. Другим зважуванням порівняємо монети №№ 9, 10, 11 і 5 з монетами №№ 3, 4, 6, 7. Тоді можливі три випадки:
Випадок 2.1. Ваги в рівновазі. Отже, вибрані монети справжні, а фальшива - або серед монет під №№ 1, 2 і більше важка, або під № 8 і легша. Порівнюючи монети №№ 1 і 2, встановимо, що фальшива монета - легка під № 8, якщо ваги залишаться в рівновазі або, що фальшива - важка № 1 або № 2 - та, яка перетягне.
Випадок 2.2. Перетягне група монет №№ 9, 10, 11 і 5. Тоді в цій групі фальшивої монети бути не може, так як монета № 5 взята з групи більш легких, а монети №№ 9, 10 і 11 - справжні, і ця шалька терезів не могла б перетягнути з трьома справжніми і однієї фальшивої монетою. Отже, фальшива - одна з монет під №№ 3, 4, 6, 7 і саме з групи, яка при першому зважуванні виявилася легшою, тобто або № 6, або № 7. Більш легка з них виявляється третім зважуванням.
Випадок 2.3. Перетягне група монет №№ 3, 4, 6 і 7. Тоді - фальшива монета більш важка і знаходиться на перетягнувши чашці терезів - № 3 або № 4, або фальшива монета легша і, отже, знаходиться в групі монет №№ 9, 10 , 11 і 5. В останньому випадку - це монета № 5, так як монети №№ 9, 10 і 11 - справжні.
Отже, фальшивою монетою може бути одна з трьох: № 3 або № 4 (і тоді вона більш важка) або № 5 (і тоді вона легша). Зважуємо монети №№ 3 і 4, і тоді якщо одна з монет перетягне, вона і буде фальшивою, або якщо ваги будуть в рівновазі тоді монета № 5 фальшива і важче інших.
1.3. Завдання типу «переливання»
Завдання типу «переливання» мали найбільшу практичну цінність, як в стародавні часи, так і в наші дні. Найвідоміша завдання - завдання про двох відрах.
Завдання 1.3.1. Завдання про двох відрах
Условіезадачі: Є два відра об'ємом 5 і 9 літрів. Необхідно за допомогою цих двох відер отримати 3 літри води.
Принцип рішення: Наповнюємо 9-літрове відро, виливаємо 5 літрів з 9-літрового в 5-літрове відро, виливаємо, переливаємо 4 літри в маленьке відро, наповнюємо велике відро, зливаємо з нього один літр в маленьке відро, виливаємо маленьке відро і переливаємо 5 літрів води в маленьке відро. У великому відрі залишилося 3 літри води.
Аналогічне завдання була придумана французьким фізиком і математиком Симеоном Дені Пуассона (1781-1840)
Завдання 1.3.2. завдання Пуассона
Условіезадачі: Під час екскурсії один з її учасників купив пляшку вина ємністю 8 чвертей. Куплене вино необхідно було розділити навпіл. Як можна було це здійснити, якщо на заїжджому дворі було тільки дві посудини - один ємністю 5 чвертей і другий ємністю три чверті?
Принцип рішення: Рішення показано в форматі «вихідний посудину - посудину об'ємом 5 чвертей - посудину об'ємом 3 чверті»: ;;;;;;