Математика у стародавніх народів
В основі розвитку математики, як і будь-якої іншої науки, лежать запити практичної діяльності людини.
"Виникнення і розвиток наук обумовлено виробництвом", - читаємо ми у Ф. Енгельса. - "Як і всі інші науки, математика виникла з практичних потреб людей: з вимірювання площ земельних ділянок і місткості судин, з числення часу і з механіки" *.
* (Ф. Енгельс. Анти-Дюрінг. Госполітіздат. 1948 стор. 87.)
Це положення підтверджує діяльність великого російського математика Пафнутія Львовича Чебишева.
Ієрогліфічний напис єгиптян і її значення
Його найоригінальніші, абсолютно нові для математики того часу, ідеї виникли з вивчення недосконалостей вітряних млинів, різних заводських установок, з вирішення суто практичних завдань.
Абсолютно ясно, що будь-яка наука виростає з практики, нею харчується і перевіряється.
Окремі математичні знання, які виросли з практичної діяльності людини, з спостереження їм явищ природи, суще * ствовали у різних народів давнини.
Слово 'ваги', написане єгипетськими ієрогліфами
В даний час ми добре знайомі з математичними знаннями мешканців стародавнього Вавилона (частина сучасного Іраку) і стародавнього Єгипту (берега річки Нілу).
Найвищого свого розвитку діяльність цих народів по створенню математики досягла близько чотирьох тисяч років тому.
У найвіддаленіші часи практична діяльність людей не могла обходитися без математичних відомостей. Ці відомості накопичувалися протягом тисячоліть, в епохи, про яких не існує писемних пам'яток.
Але і в історичні епохи життя різних народів ми маємо великі періоди, які не залишили імен мудреців або вчених, і наукові, в тому числі і математичні, досягнення можна приписати тільки всьому народу, його практичної діяльності.
Перш за все потрібно розповісти про найголовніші математичних питаннях в стародавньому Єгипті.
Сучасна наука має в своєму розпорядженні порівняно невеликим числом єгипетських математичних документів. Їх всього близько п'ятдесяти.
Єгипетське ієратичне, тобто спрощене, лист
Найдавнішою пам'яткою єгипетської математики є так званий "Московський папірус", що відноситься до епохи близько 1850 року до початку нашого літочислення.
Він був придбаний російським збирачем Голенищевим в 1893 році, а в 1912 році перейшов у власність Московською музею образотворчих мистецтв.
Геометрична задача Московського папірусу. Зображена трапеція майже прямокутна, що відповідає тлумаченням російських математичних рукописів
У цьому папірусі серед інших завдань вирішується завдання про обчислення обсягу усіченої піраміди про квадратною основою. Таких завдань не міститься в інших єгипетських пам'ятниках. Цей пам'ятник був вивчений радянськими вченими - академіками В. А. Тураєвим і В. В. Струве.
За обсягом більше Московського папірус Ахмеса, знайдений і набутий англійським збирачем Райнд в 1858 році і тому часто званий папірусом Райнд. Він відноситься до епохи 1700 року до нашої ери. Російською мовою він описаний В. В. Бобинін *.
* (В. В. Бобинін. Математика древніх єгиптян. Москва, 1882. (Оновлена редакція в Журналі Міністерства народної освіти 1908 року.)
Папірус цей являє собою смугу в 20 метрів завдовжки і 80 сантиметрів завширшки.
У ньому наведені зразки вирішення завдань з області арифметики, геометрії і алгебри.
Всі інші математичні документи Єгипту, останній з яких відноситься до тисячному році нашого літочислення, повторюють ті ж правила обчислень, які є вже в названих основних документах.
Виявляється, що єгиптяни чотири тисячі років тому вирішували багато завдань нашої практичної математики (арифметики, геометрії і на рівняння першого ступеня). Вони мали нумерацію з десятковою маються на основою, володіли обчисленнями за допомогою дробових чисел.
Обривок папірусу Ахмеса
Завдання, які ми вирішуємо за допомогою рівнянь першого ступеня, вони вирішували способом, який в нашій школі називається "способом припущень" (цей прийом використовувався до XVIII століття в арифметиці всіх народів під назвою "способу помилкового положення" або "фальшивого правила").
Вирішували єгиптяни і завдання на прогресії. Вони вміли обчислювати площі прямолінійних фігур і кола; відношення довжини окружності до її діаметра - наше число π - згідно з правилами єгипетської геометрії виявляється рівним 3,10; на думку деяких дослідників, єгиптяни знали правило для обчислення обсягу кулі і, безсумнівно, вміли обчислювати обсяг усіченої піраміди з квадратною основою.
Одночасно із зародженням математики в Єгипті жителі древнього Вавилона - шумери - самостійно створили свою математику. Шумери писали знаками, складеними з клиновидних рисочок, на глиняних плитках, які після сушки на пекучому сонці набували більшу міцність. В даний час ці глиняні плитки тисячами знаходять при розкопках.
У Ленінграді в Ермітажі і в Московському музеї образотворчих мистецтв є велика кількість єгипетських і вавилонських пам'ятників з справжніми написами. Єгипетські написи збереглися і на сфінксів, що стоять в Ленінграді на березі Неви перед будинком Академії мистецтв.
За останні двадцять-тридцять років знайдено і вивчено величезну кількість вавилонських математичних пам'ятників.
Єгипетські цифри: верхні два рядки написані ієрогліфами; нижня строчка написана ієратичними знаками
Вчені знайшли математичну енциклопедію вавилонян на сорока чотирьох таблицях, що представляє як би зведення всіх математичних досягнень шумерів до епохи близько двохтисячного року до нашого літочислення, тобто до моменту найвищого розквіту вавілонської культури. З цієї енциклопедії видно, що вавилоняни в той далекий час краще застосовували на практиці математичні знання, ніж греки на 1600 років пізніше, хоча до цих пір деякі вчені вважають греків основоположниками математичної науки.
Завдання на рівняння, записана ієрогліфічним письмом. Читається справа наліво: 'Купа (невідоме), 2/3, 1/2, 1/7, ціле становить 33', тобто x + 2 / 3x + 1 / 2x + 1 / 7x = 33
Вавилоняни були основоположниками науки астрономії. Їх спостереження послужили основою грецької астрономії; від них до нас йде семиденний тиждень, розподіл кола на 860 градусів, розподіл години на 60 хвилин, хвилини на 60 секунд, секунди на 60 терцій. У вавилонян ж зародилася астрологія - уявна наука про визначення майбутнього за зірками.
Вавилоняни створили досконале для свого часу обчислення, в основі якого лежало не число 10, як у нас, а число 60, що в багатьох випадках полегшувало надзвичайне арифметична дія - поділ.
Вони ж створили систему мір і ваг, яка передбачила всі переваги нашої метричної системи (кожна міра була в 60 разів більша за попередню, звідки і бере початок наш поділ кутів і заходів часу).
Клиноподібні письмена вавилонян
Вавилоняни вирішували рівняння другого ступеня і деякі види рівнянь третього ступеня (європейці навчилися вирішувати такі рівняння тільки в XVI столітті).
Вавилонська керамічна плитка
З другої половини другого тисячоліття до початку нашого літочислення на території, що лежить між царствами вавилонським і замінив його Ассірійським, з одного боку, і Закавказзям, з іншого боку, існувало Ванське царство або царство Урарту, яке в VIII столітті захоплює області південного Закавказзя.
Народи Урарту, засвоївши вавилонську математику, переробили її. Встановлено, що вони перейшли до десяткового нумерації, близькою до нинішньої позиційної десяткової і різко відмінною від єгипетської десяткової нумерації, яка не знала позиційного принципу.
Урартська арифметика багато в чому схожа з давньо-вірменської.
Таким чином, математика древніх вавилонян через народи Урарту вплинула на найдавнішу математичну культуру закавказьких народів, особливо вірменську, содействовав виключно раннього її розквіту.
Паралельно з Єгиптом і Вавилоном йшло розвиток математики в Індії.
За дві або півтори тисячі років до початку нашого літочислення були написані стародавні індуські книги, звані ведами.
У цих книгах і їх бувальцях, в так званих сутрах, містяться докладні правила для заміни однієї фігури рівновеликої їй інший, для поділу і складання цих фігур.
Правила вед виконувалися головним чином за допомогою прямокутних трикутників, сторони яких виражаються цілими числами. Вед відомі цілочисельні прямокутні трикутники наступних видів:
1) зі сторонами 8, 4, б і йому подібні, одержувані від множення чисел 3, 4, 5 на одне і те ж число;
2) зі сторонами 5, 12, 13 і йому подібні;
3) зі сторонами 8, 15, 17 І 12, 35, 37. Прямокутні трикутники мають ту властивість, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи (теорема Піфагора). Цій вимозі задовольняють трикутники про зазначеними вище обчисленими сторонами. наприклад:
12 2 + 35 2 - 144 + 1225 = 1369 = 37 2.
Побудова фігури іншої форми, яка була б точно рівновелика даної, і родинні завдання становлять істотну частину і грецької геометрії і вивчаються в нашому шкільному курсі.
Завдання складання фігур квадратної, трикутної або багатокутної форми з квадратних плит або цегли, яку ставило будівельне мистецтво, цілком ймовірно, дало початок вченню про трикутних, квадратних і взагалі багатокутних числах.
Трикутними називалися числа: 1, 3, 6, 10, 15 і так далі; квадратними - 1, 4, 9, 16, 25 і так далі. Якщо зобразити цеглини точками, то ці числа представляють кількість цегли, необхідних для побудови трикутної або квадратної фігури при поступовому збільшенні сторін їх, як показують креслення:
Квадратні плити (цеглини) були основним будівельним матеріалом в Індії і особливо в сусідньому з нею Вавилоні, абсолютно позбавленому каменю і дерева. Равновелікость фігур визначалася за кількістю цих плит.
Ця практичне завдання будівельного мистецтва висунула питання про визначення цілого числа плит, необхідних для отримання трикутної, квадратної або багатокутної фігури про заданою величиною площі.
Підпис царя Ксеркса клинописом
Вирішення цього завдання вимагало вивчення властивостей послідовностей чисел натурального ряду: 1, 2, 3, 4. трикутних: 1, 3, 6, 10, 15. квадратних: 1, 4, 9, 16. Цими питаннями займалися вавилоняни, індуси, а пізніше - грецькі математики, починаючи з Піфагора.
У життєписах Піфагора (VI століття до початку нашого літочислення) розповідається про перебування його в Єгипті, Вавилоні та Індії. З іншого боку, Піфагору приписується така кількість відкриттів в області геометрії і вчення про числах, які ніяк не могли бути зроблені протягом одного життя.
Природно виникає думка про те, що багато відкриттів, приписувані Піфагору, були їм винесені з Вавилона, Індії та Єгипту, зокрема вчення про багатокутних або фігурних числах (трикутних, чотирикутних: і так далі), пов'язаних з питаннями будівельного мистецтва цих країн.
Найціннішим внеском індусів в скарбницю математичних знань людства є вживається нами спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Основа цього способу полягає в ідеї, що одна і та ж цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце визначається нулями, що приписуються до цифри.
Остаточна розробка такої помісної, або позиційної, системи нумерації, ідея якої була у вавилонян, є найбільша заслуга індусів.
Французький математик Лаплас (1749-1827) пише з цього приводу: "Думка - висловлювати все числа небагатьма знаками, надаючи їм крім значення за формою ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко оцінити, наскільки вона дивовижна. як нелегко прийти до цього, ми бачимо ясно на прикладі найбільших геніїв грецької вченості - Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою ".
Велике відкриття помісної системи нумерації було зроблено не яким-небудь геніальною людиною. Це відкриття, як і всі відкриття єгиптян і вавилонян, є результатом довгого поступового збагачення досвіду і спостереження цілого народу. Такі ж багато, на перший погляд досить абстрактні, завдання математики.
У греків виникли чотири чудові завдання, якими людство займалося понад двох з половиною тисячоліть. Завдання ці наступні:
1. Розділити окружність або дугу на довільне число рівних частин (побудувати в окружності правильний багатокутник про будь-яким числом сторін).
2. Подвоїти куб, тобто побудувати куб, який мав би обсяг в два рази більший, ніж даний куб.
3. Розділити будь-яким кутом на три рівні частини.
4. Побудувати квадрат, що має площу, рівну площі даного круга.
Всі ці завдання потрібно вирішувати точно, користуючись тільки циркулем і лінійкою, на якій немає поділів.
Незважаючи на свою уявну простоту, вони виявилися не можна вирішити циркулем і лінійкою, що було встановлено лише до другої половини XIX століття.
До цього часу, а почасти й після нього, дуже багато людей, особливо з числа любителів математики, що не вивчили серйозно цієї науки, витрачали час і сили на безнадійні спроби вирішення цих завдань.
Історія цих завдань, про які написано багато книг і брошур і на російським мовою, зажадала б окремої книги, з якої можна було б дізнатися, як з безплідних спроб зважся ці, на перший погляд дуже прості, завдання виросли дуже важливі галузі сучасної математичної науки.