на попередню на наступну
Закони розподілу неперервних випадкових величин
Закон розподілу неперервної випадкової величини можна задати також, як для дискретної. Він непридатний в силу того, що не можна перерахувати всі нескінченне незліченну безліч значень, а ймовірності кожного окремо взятого значення неперервної випадкової величини дорівнюють нулю.
Для опису закону розподілу неперервної випадкової величини Х пропонується інший підхід: розглядати не вірогідність подій Х = х для різних х. а ймовірності події Х<х. При этом вероятность P(X Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F (x). виражає для кожного х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х. Функцію F (x) називають інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу. Спосіб завдання неперервної випадкової величини за допомогою функції розподілу не є єдиним. Необхідно визначити деяку функцію, яка відображатиме ймовірності попадання випадкової точки в різні ділянки області можливих значень неперервної випадкової величини. Т. е. Уявити деяку заміну можливостям pi для дискретної випадкової величини в безперервному випадку. Такою функцією є щільність розподілу ймовірностей. Щільністю ймовірності (щільністю розподілу, диференціальної функцією) випадкової величини Х називається функція f (x), що є першою похідною інтегральної функції розподілу: Про випадкову величину Х кажуть, що вона має розподіл (розподілена) з щільністю f (x) на певній ділянці осі абсцис. Рівномірний закон розподілу. Безперервна випадкова величину Х має рівномірний закон розподілу (закон постійної щільності) на відрізку [a; b], якщо на цьому відрізку функція щільності ймовірності випадкової величини постійна, тобто f (x) має вигляд: Рис.2. Нормальний закон розподілу Математичне сподівання характеризує центр розсіювання значень випадкової величини і при зміні крива буде зміщуватись уздовж осі абсцис (див. Рис. 2 при і при). Якщо ж при незмінному математичне сподівання випадкової величини змінюється дисперсія, то крива буде змінювати свою форму, стискаючи або розтягуючись (див. Рис. 2 при.;;). Таким чином, параметр характеризує стан, а параметр - форму кривої щільності ймовірності. Нормальний закон розподілу випадкової величини Х з параметрами і (позначається N (0; 1)) називається стандартним або нормованим, а відповідна нормальна крива - стандартної або нормованої. Згідно з визначенням функція щільності ймовірності та функція розподілу пов'язані між собою: Інтеграл такого роду є "неберущімся", тому для його знаходження використовують особливу функцію, так званий інтеграл ймовірностей або функцію Лапласа. для якої складені таблиці (див. Додаток 1). Використовуючи функцію Лапласа можна виразити функцію розподілу нормального закону за формулою: Для практичних цілей дуже важливі властивості випадкової величини, що має нормальний закон розподілу. 1. Якщо. то для знаходження ймовірності попадання цієї величини в заданий інтервал (х1; х2) використовується формула: 2. Імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищить величину (по абсолютній величині), дорівнює: 3. "Правило трьох сигм". Якщо випадкова величина. то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (). (Ймовірність виходу за ці межі становить 0,0027.) Правило дозволяє, знаючи параметри (і), орієнтовно визначити інтервал практичних значень випадкової величини. Приклад 5. Випадкова величина розподілена нормально з параметрами. . Знайти ймовірність того, що випадкова величина в результаті досвіду прийме значення, укладену в інтервалі (12,5; 14). Приклад 6. Випадкова похибка вимірювання підпорядкована нормальному закону розподілу з параметрами. . Проводяться три незалежних вимірювання. Знайти ймовірність того, що похибка хоча б одного виміру не перевищує за абсолютною величиною 3 мм. Імовірність того, що похибка вимірювання в одному випробуванні не перевищує 3 мм: Імовірність того, що ця похибка вимірювання в одному випробуванні перевищує 3 мм, дорівнює: Імовірність того, що у всіх трьох випробуваннях похибка вимірювання перевищує 3 мм: Повертає нормальну функцію розподілу для вказаного середнього і стандартного відхилення. Ця функція дуже широко застосовується в статистиці, в тому числі під час перевірки гіпотез. НОРМРАСП (x; середнє; стандартное_откл; інтегральна) x - значення, для якого будується розподіл. Середнє - середнє арифметичне розподілу. Стандартное_откл - стандартне відхилення розподілу. Інтегральна - логічне значення, що визначає форму функції. Якщо аргумент «інтегральна» має значення ІСТИНА, функція НОРМРАСП повертає інтегральну функцію розподілу; якщо цей аргумент має значення ЛОЖЬ, повертається функція щільності розподілу. · Якщо аргумент «середнє» або «стандартное_откл» не є числом, функція НОРМРАСП повертає значення помилки # значить. · Якщо стандартное_откл ≤ 0, то функція НОРМРАСП повертає значення помилки # ЧИСЛО. · Якщо середнє = 0, стандартное_откл = 1 і інтегральна = ІСТИНА, то функція НОРМРАСП повертає стандартний нормальний розподіл, т. Е. НОРМСТРАСП. · Рівняння для щільності нормального розподілу (аргумент «інтегральна» містить значення БРЕХНЯ) має наступний вигляд: · Якщо аргумент «інтегральна» має значення ІСТИНА, формула описує інтеграл з межами від мінус нескінченності до x. Повертає стандартне нормальне інтегральне розподіл. Цей розподіл має середню, рівне нулю, і стандартне відхилення, що дорівнює одиниці. Призначений замість таблиці площ стандартної нормальної кривої. Z - значення, для якого будується розподіл. · Якщо z не є числом, функція НОРМСТРАСП повертає значення помилки # значить. · Рівняння щільності стандартного нормального розподілу має такий вигляд: Повертає зворотне нормальний розподіл для зазначеного середнього і стандартного відхилення. НОРМОБР (ймовірність; середнє; стандартное_откл) Імовірність - ймовірність, відповідна нормальному розподілу. Середнє - середнє арифметичне розподілу. Стандартное_откл - стандартне відхилення розподілу. · Якщо який-небудь з аргументів не є числом, функція НОРМОБР повертає значення помилки # значить. · Якщо ймовірність <0 или вероятность> 1, функція НОРМОБР повертає значення помилки # ЧИСЛО. · Якщо стандартное_откл ≤ 0, функція НОРМОБР повертає значення помилки # ЧИСЛО. · Якщо середнє = 0 і стандартное_откл = 1, функція НОРМОБР використовує стандартний нормальний розподіл (див. НОРМСТОБР). Якщо задано значення ймовірності, функція НОРМОБР шукає значення x. для якого функція НОРМРАСП (x. середнє, стандартное_откл. ІСТИНА) = ймовірність. Однак точність функції НОРМОБР залежить від точності НОРМРАСП. У функції НОРМОБР для пошуку застосовується метод ітерацій. Якщо пошук не закінчилася після 100 ітерацій, функція повертає значення помилки # Н / Д. на попередню на наступну
Схожі статті