Задача Штурма - Ліувілля

Задача Штурма - Ліувілля. названа на честь Жака Шарля Франсуа Штурма та Жозефа Ліувілля. полягає у знаходженні нетривіальних (тобто відмінних від тотожного нуля) рішень на проміжку $(A,\; \backslash ;\; b)$ рівняння Штурма - Ліувілля

\ Alpha _1 y '(a) + \ beta _1 y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ \ alpha _2 y '(b) + \ beta _2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0; \\ \ end і значень параметра $\backslash \; lambda$, при яких такі рішення існують.

оператор $L\; [y]$ тут - це діючий на функцію $y\; (x)$ лінійний диференційний оператор другого порядку виду

(Оператор Штурма - Ліувілля або оператор Шредінгера), $x$ - речовинний аргумент.

функції $p\; (x),\; \backslash ;\; p\; \text{'}(x),\; \backslash ;\; q\; (x),\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; (x)$ передбачаються безперервними на $(A,\; \backslash ;\; b)$, крім того функції $p\; (x),\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; (x)$ позитивні на $(A,\; \backslash ;\; b)$.

Шукані нетривіальні рішення називаються власними функціями цього завдання, а значення $\backslash \; lambda$, при яких таке рішення існує - її власними значеннями (кожному власному значенню відповідає власна функція).

Постановка задачі

вид рівняння

якщо функції $\backslash \; rho$ і $p$ двічі безперервно діфференцируєми і позитивні на відрізку $[A,\; b]$ і функція $q$ неперервна на $[A,\; b]$, то рівняння Штурма - Ліувілля виду

$(P\; (x)\; y\; \text{'})\text{'}\; -\; q\; (x)\; y\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \; rho\; (x)\; y\; =\; 0$

за допомогою перетворення Ліувілля приводиться до вигляду

Тому часто розглядають рівняння Штурма - Ліувілля в вигляді (1), функцію $q\; (x)$ називають потенціалом Шаблон: Sfn Шаблон: Sfn. Вивчаються завдання Штурма - Ліувілля з потенціалами з різних класів функцій: безперервними. $L$ (Сумовною), $L\_2$ та інших.

Види крайових умов

• умови Діріхле $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0.$
• умови Неймана $y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)\; =\; 0$
• умови Робена $y\; \text{'}(a)\; -\; h\; y\; (a)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; y\text{'}\; (b)\; +\; H\; y\; (b)\; =\; 0.$
• Змішані умови: умови різних видів в різних кінцях відрізка $[A,\; b]$.
• Розпадаються крайові умови загального вигляду

$\backslash \; begin$

\ Alpha _1 y '(a) + \ beta _1 y (a) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_1 + \ beta ^ 2_1 \ ne 0; \\ \ alpha _2 y '(b) + \ beta _2 y (b) = 0, \ qquad \ alpha ^ 2_2 + \ beta ^ 2_2 \ ne 0. \\ \ end

• періодичні умови $y\; (a)\; =\; y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; y\text{'}\; (b)$.
• Антіперіодіческіе умови $y\; (a)\; =\; -y\; (b),\; \backslash \; quad\; y\; \text{'}(a)\; =\; -y\text{'}\; (b)$.
• Загальні крайові умови

$a\_\; y\; (a)\; +\; a\_\; y\; \text{'}(a)\; +\; a\_\; y\; (b)\; +\; a\_\; y\text{'}\; (b)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; 2.$

В останньому випадку зазвичай накладаються додаткові умови регулярності на коефіцієнти $a\_$. Шаблон: Sfn Шаблон: Sfn

Для зручності довільний відрізок $[A,\; b]$ часто переводять в відрізок $[0,\; l]$ або $[0,\; \backslash \; pi]$ за допомогою заміни змінної.

Оператор Штурма - Ліувілля

Оператор Штурма - Ліувілля

$L\; y\; =\; -\; \backslash \; frac\; \backslash \; Bigl\; (\backslash \; frac\; \backslash \; left\; [p\; (x)\; \backslash \; fracy\; \backslash \; right]\; -\; q\; (x)\; y\; \backslash \; Bigr)$

являє собою окремий випадок лінійного диференціального оператора

Область визначення оператора $L$ складається з двічі безперервно диференційовних на відрізку $[A,\; b]$ функцій $y$, задовольняють крайовим умовам задачі Штурма - Ліувілля. Таким чином, завдання Штурма - Ліувілля можна розглядати як задачу на власні значення і власні функції оператора $L$: $L\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y$. якщо функції $p$, $q$, $\backslash \; rho$ і коефіцієнти крайових умов речові. оператор $L$ є самосопряженним в гільбертовому просторі $L\_2\; ([a,\; b],\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx)$. Отже, його власні значення речовинні і власні функції ортогональні з вагою $\backslash \; Rho\; (x)$.

Рішення завдання

Рішення задачі Штурма - Ліувілля з нульовим потенціалом:

-y = \ lambda y, \ qquad (2)

y (0) = y (l) = 0 може бути знайдено в явному відеШаблон: Sfn. нехай $\backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; rho\; ^\; 2$. Загальне рішення рівняння (2) при кожному фіксованому $\backslash \; lambda$ має вигляд

y (x) = A \ frac + B \ cos \ rho x \ qquad (3) (Зокрема, при $\backslash \; Rho\; =\; 0$ (3) дає $y\; (x)\; =\; Ax\; +\; B$). з $y\; (0)\; =\; 0$ слід $B\; =\; 0$. Підставляючи (3) в крайове умова $y\; (l)\; =\; 0$, отримуємо $A\; \backslash \; frac\; =\; 0$. Так як ми шукаємо нетривіальні рішення, то $A\; \backslash \; ne\; 0$, і ми приходимо до рівняння на власні значення

\ Frac = 0. його коріння $\backslash \; Rho\_n\; =\; \backslash \; frac$, отже, шукані власні значення мають вид

\ Lambda_n = \ left (\ frac \ right) ^ 2, \ quad n = 1, 2, 3, \ dots а відповідні їм власні функції суть

y_n (x) = \ sin \ fracx, \ quad n = 1, 2, 3, \ dots (З точністю до постійного множника).

Загальний випадок

У загальному випадку будь-яке рішення рівняння Штурма - Ліувілля

$-y\; +\; q\; (x)\; y\; =\; \backslash \; lambda\; y\; \backslash \; qquad\; (4)$

$y\; (x)\; =\; A\; S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; +\; B\; C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; \backslash \; qquad\; (5)$

його рішень $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ і $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$, задовольняють початковим умовам

$S\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C\; \text{'}(0,\; \backslash \; lambda)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; S\text{'}\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; C\; (0,\; \backslash \; lambda)\; =\; 1$.

рішення $S\; (x,\; \backslash \; lambda)$ і $C\; (x,\; \backslash \; lambda)$ утворюють фундаментальну систему рішень рівняння (4) і є цілими функціями по $\backslash \; lambda$ при кожному фіксованому $x$. (При $q\; (x)\; \backslash \; equiv\; 0$ $S\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; rho\; x$, $C\; (x,\; \backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; rho\; x$, $\backslash \; Rho\; =\; \backslash \; sqrt\; \backslash \; lambda$). Підставляючи (5) в крайові умови $y\; (0)\; =\; y\; (\backslash \; pi)\; =\; 0$, отримуємо, що власні значення збігаються з нулями характеристичної функції

$\backslash \; Delta\; (\backslash \; lambda)\; =\; S\; (\backslash \; pi,\; \backslash \; lambda),$

У загальному випадку власні значення і власні функції не можуть бути знайдені в явному вигляді, проте для них отримані асимптотичні формули:

$\backslash \; Sqrt\; \backslash \; lambda\_n\; =\; n\; +\; \backslash \; frac\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; c\; =\; \backslash \; frac\; \backslash \; int\_0\; ^\; q\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau,$ $y\_n\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; n\; x\; +\; O\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; \backslash \; right),$

(В разі безперервного на $[0,\; \backslash \; pi]$ потенціалу $q\; (x)$) .Шаблон: Sfn При великих $n$ власні значення і власні функції близькі до власних значень і власних функцій задачі з прикладу з нульовим потенціалом.

Властивості власних значень і власних функцій

• Існує нескінченна рахункове безліч власних значень: .
• Кожному власному значенню $\backslash \; lambda\_n$ відповідає єдина з точністю до постійного множника власна функція $y\_n$.
• Всі власні значення речовинні.
• У разі граничних умов $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$ і при виконанні умови $q\; (x)\; \backslash \; geqslant\; 0$ всі власні значення позитивні $\backslash \; Lambda\_n>\; 0$.
• власні функції $y\_n\; (x)$ утворюють на $[A,\; \backslash ;\; b]$ ортогональную з вагою $\backslash \; Rho\; (x)$ систему $\backslash$:

$\backslash \; Int\; \backslash \; limits\_a\; ^\; b\; y\_n\; (x)\; y\_m\; (x)\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; neq\; m.$

• Має місце теорема Стеклова.

Чисельні методи рішення

• Метод стрільби. Щоб вирішити задачу Штурма - Ліувілля з крайовими умовами Діріхле $y\; (a)\; =\; y\; (b)\; =\; 0$, можна взяти для вихідного рівняння задачу Коші з початковими умовами $u\; (a)\; =\; 0$, $u\; \text{'}(a)\; =\; 1$ і вести пристрілювання параметра $\backslash \; lambda$ до виконання правого крайового условія.Шаблон: Sfn
• Метод кінцевих різниць Шаблон: Sfn [1]. Будується кінцево-різницева апроксимація, яка дозволяє замінити задачу Штурма - Ліувілля завданням знаходження власних значень матриці.
• Метод доповненого вектора. Разностная власна функція доповнюється компонентом $y\_\; =\; \backslash \; lambda$. Щодо доповненого вектора виходить нелінійна система, яка може бути вирішена методом Ньютона .Шаблон: Sfn
• Метод Гальоркіна .Шаблон: Sfn
• Варіаційні методи. [2]

Застосування до вирішення рівнянь в приватних похідних

Як приклад розглянемо крайову задачу для рівняння гіперболічного типу.

$(H\_1\; u\_x\; -\; h\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; (H\_1\; u\_x\; +\; H\; u)\; \_\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (7)$ $u\_\; =\; \backslash \; Phi\; (x),\; \backslash \; quad\; u\_\; =\; \backslash \; Psi\; (x).\; \backslash \; Qquad\; (8)$

тут $x$ і $t$ - незалежні змінні. $u\; (x,\; t)$ - невідома функція, $\backslash \; rho$, $k$, $q$, $\backslash \; Phi$, $\backslash \; Psi$ - відомі функції, $h,\; h\_1,\; H,\; H\_1$ - речові числа .Шаблон: Sfn Будемо шукати нерівні тотожне нулю приватні рішення рівняння (6), що задовольняють крайовим умовам (7) у вигляді

$u\; (x,\; t)\; =\; Y\; (x)\; T\; (t)\; \backslash \; qquad\; (9)$.

Підстановка виду (9) в рівняння (6) дає

Так як $x$ і $t$ - незалежні змінні, то рівність можливо тільки якщо обидві дробу рівні константі. Позначимо цю константу через $-\backslash \; lambda$. отримуємо

$T\; (t)\; +\; \backslash \; lambda\; T\; (t)\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; (10)$

Підстановка виду (9) в крайові умови (7) дає

$h\_1\; Y\; \text{'}(0)\; -\; h\; Y\; (0)\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; H\_1\; Y\text{'}\; (l)\; +\; H\; Y\; (l)\; =\; 0.\; \backslash \; qquad\; (12)$

Нетривіальні рішення (6) - (7) виду (9) існують тільки при значеннях $\backslash \; lambda$, є власними значеннями завдання Штурма - Ліувілля (11) - (12) $\backslash \; lambda\_n$. Ці рішення мають вигляд $T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x)$, де $Y\_n\; (x)$ - власні функції задачі (11) - (12), $T\_n\; (t)$ - рішення рівняння (10) при $\backslash \; Lambda\; =\; \backslash \; lambda\_n$. Рішення завдання (6) - (8) знаходиться у вигляді суми приватних рішень (ряду Фур'є за власними функціями задачі Штурма - Ліувілля $Y\_n\; (x)$):

$u\; (x,\; t)\; =\; \backslash \; sum\_\; ^\; T\_n\; (t)\; Y\_n\; (x).$

Зворотні задачі Штурма - Ліувілля

Зворотні задачі Штурма - Ліувілля складаються у відновленні потенціалу $q\; (x)$ оператора Штурма - Ліувілля $-y\; +\; q\; (x)\; y$ і коефіцієнтів крайових умов по спектральним характерістікам.Шаблон: Sfn Шаблон: Sfn Шаблон: Sfn Зворотні задачі Штурма - Ліувілля і їх узагальнення мають додатки в механіці. фізики. електроніці. геофізики. метеорології та інших областях природознавства і техніки. Існує важливий метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь (наприклад, рівняння КдФ), пов'язаний з використанням оберненої задачі Штурма - Ліувілля на осі (

Одного спектра (безлічі власних значень) як правило недостатньо для того, щоб однозначно відновити оператор. Тому в якості вихідних даних оберненої задачі зазвичай використовують такі спектральні характеристики:

1. Два спектра, що відповідають різним крайовим умовам (завдання Борга).
2. Спектральні дані, що включають в себе власні значення і вагові числа, рівні квадратах норм власних функцій в просторі $L\_2$.
3. Функцію Вейля - мероморфна функція. рівну відношенню двох характеристичних функцій різних крайових задач.

Кожен з наборів даних 1-3 однозначно визначає потенціал $q\; (x)$. Крім того, завдання функції Вейля рівносильно завданням двох спектрів або спектральних даних, тому зворотні завдання за даними 1-3 еквівалентні. Існують конструктивні методи розв'язання обернених задач Штурма - Ліувілля, засновані на зведенні нелінійних обернених задач до лінійних рівнянь в деяких банахових просторах .Шаблон: Sfn

Примітки

література