Приклад 4. Нехай D - безліч дійсних чисел. Відповідність буде відображенням безлічі D в себе ж і відображенням D на множину невід'ємних чисел. Прообразом числа 0 буде один 0, число y> 0 має два прообразу: + y і -y.
Приклад 5. Поставимо у відповідність кожній точці квадрата її проекцію на підставу. Отримаємо відображення квадрата на відрізок. Повним прообразом кожної точки підстави буде безліч всіх точок квадрата, що лежать на перпендикуляр до основи, відновленому в даній його точці.
Приклади 4 і 5 показують, що при відображенні безлічі X в Y. з одного боку, деякі елементи з Y можуть зовсім не мати прообразів, а, з іншого боку, можуть бути елементи, що мають кілька (навіть нескінченно багато) прообразів. Якщо немає ні того, ні іншого, то відображення називається взаємно однозначним. Таким чином, приходимо до наступного визначення:
Визначення. Взаємно однозначним відповідністю між множинами X і Y (або відображенням X на Y) називається відповідність (відповідно, відображення), що володіє наступними трьома властивостями: 1) кожному елементу множини X відповідає один і тільки один елемент множини Y; 2) двом різним елементам множини X завжди відповідають два різних елемента безлічі Y; 3) будь-який елемент множини Y відповідає хоча б одному елементу множини X.
Зауважимо, що перші дві властивості дають взаємно однозначні відображення X на деяку підмножину Y. У цьому випадку говорять про взаємно однозначній отображенііX в Y.
Якщо y = f (x) є взаємно однозначне відображення X на Y. то кожному можна поставити у відповідність той єдиний елемент, образом якого при відображенні f є y. Це відповідність називається зворотним відображенням для відображення f і позначається через f -1. В якості вправи пропонується довести, що f -1 є також взаємно однозначне відображення Y на X і що зворотним для відображення f -1 буде вихідне відображення f.
Визначення. Два безлічі X і Y. між якими можна встановити взаємно однозначну відповідність, називаються рівнопотужними (або еквівалентними), що позначається символом.
Про рівнопотужних множинах говорять також, що вони мають однакову потужність. Домовимося вважати, що порожня множина рівнопотужності тільки самому собі.
Зауваження. Вище ми дали визначення поняття рівнопотужності, але не поняття потужності. Можна сказати, що потужність є щось спільне, що є у всіх рівнопотужних між собою множин. Втім, усюди досить поняття рівнопотужності.