Дві системи векторів # 945; і # 946; називаються еквівалентними, якщо кожен вектор
Пропозиція. Ранги еквівалентних систем збігаються.
помінявши місцями # 945; і # 946; місцями → r> = k >>> Значить, r = k.
Визначення. Нехай дана матриця A =
Рангом матриці А називається ранг системи векторів # 945; 1, # 945; 2, ..., # 945; m, складених з це матриці >> rank (A) -ранг
З визначення очевидно, що при перестановці стовпців ранг не змінюється. Покажемо. що при перестановці стовпців ранг так само не змінюється.
Основна теорема про ранги матриці.
Ранг матриці збігається з максимальним порядком відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Док-во. припустимо, що в матриці є мінор n-го порядку не рівний нулю, а все його більш високі мінори нульові. Довести. що ранг матриці дорівнює n.
Переставляючи рядки і стовпці, можемо перемістити цей мінор в лівий верхній кут.
Доведемо. що перші r рядків лінійно незалежні і що будь-яка інша рядок лінійна комбінація цих r рядків: якби перші r рядків були лінійно залежні, то яка то рядок була лінійною комбінацією інших, теж саме було б справедливо для виділеного мінору і він дорівнював 0.
Доведемо, що будь-який рядок є лінійна комбінація цих рядків:
Складемо визначник (додамо i-тую рядок) D1 = 1<=j<=r
якщо j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0
Якщо i> r, то мінор r + 1 порядку і дорівнює 0.
aij = (a1j (-1) r + 2 D1 (1 | r + 1) + a2j (-1) r + 3 D1 (2 | r + 1) + ...)
Вся i-тая рядок є лінійна комбінація перших r рядків
Следствіе.1) При транспонировании матриці ранг не змінюється (Ранг матриці можна визначати ка по рядках. Так і по стовпцях 2) Визначник квадратної матриці дорівнює 0, тоді і тільки тоді, коли якась рядок матриці є лінійною комбінацією інших. (Необхідна і достатня умова рівності нулю визначника квадратної матриці)
Доведення. Дана матриця А n × n. | A | = 0
Якщо | A | = 0, то максимальний порядок не рівних нулю миноров менше n. З основної теореми слід, що rank (A) Ранг твори матриць. Сист. коорд. в афінному пр-ве НЗВ. точка О (початок коорд) і базис в пр-ве векторів. Часто сист. коорд. на пл-ти задають двома пересічними прямими, початок коорд. є точка перетину прямих, а базисні вектори мають одиничну довжину і // ни відповід. прямим. якщо обрана сист. коорд. то кожна точка Р отримує коорд .: це коорд. вектора, що йде з початку в цю точку, підраховані в обраній базі. Властивості визначника n-ого порядку. 1. | A | = | A T | При транспонировании матриці, визначник не змінюється. 2.Якщо якась рядок матриці складається з 0, то визначник = 0. A [k | *] = 0 → | A | = 0. Кожне складова містить елемент k-го рядка, тому весь твір = 0. 3. A [k | *] → cA [k | *] = | A | → c | A | 4. Якщо в матриці поміняти місцями 2 рядки, то визначник матриці змінить знак. 5. Якщо в матриці є 2 однакові рядки, то її визначник дорівнює 0. Поміняємо місцями рівні рядки | A | = - | A | → | A | = 0 7. Якщо якась рядок матриці є лінійна комбінація інших, то визначник = 0. A [n | *] = # 931; bk A [k | *] 8. Якщо до якоїсь рядку матриці додати лінійну комбінацію інших, то визначник не змінюється. A [n | *] → A [n | *] + # 931; bk A [k | *] Розкладання визначника по рядку. Теорема: для будь-якої кв.матріци справедливі формули: | A | = # 931; i A [i | j] Aij = # 931; j A [i | j] Aij 2. (з матриці A iий стовпець перенесли в кінець, отримали матрицю B) | B | = ani Bnn 1 1 ... 1 Віднімаючи перший стовпець з усіх наступних отримуємо x1 n-1 x2 n-1 ... xn n -1 далі розкладання по 1-му рядку після віднімаємо з кожного рядка попередній рядок помножену на x1 далееми можемо винести за знак визначника загальний множник першого стовпчика дорівнює (x2 -x1) загальний множник другого шпальти x3-x1 і т.д. У рез-ті отримаємо # 916; (x1, x2 ... xn) = (x2-x) (x3-x1) ... (xn-x1) # 916; (x2, x3 ... xn) з стоячою в правій частині визначником вчинимо так само, продовжуючи такі міркування далі остаточно отримаємо вихідний визначник det (A) = (x2-x1) (x3-x1) ... (xn-x1) (x3-x2) ... (xn-x2) ... (xn-xn-1) визначник Вандермонта. Зворотній матріцаОпределеніе: Матриця B називається зворотною матрицею для квадратної матриці А, якщо. З визначення випливає, що зворотна матриця A буде квадратною матрицею того ж порядку, що і матриця (інакше один із творів або було б не визначено). Зворотній матриця для матриці позначається. Таким чином, якщо існує, то. З визначення зворотної матриці слід, що матриця є зворотною для матриці. тобто . Про матриці і можна говорити, що вони протилежні одна одній або взаємно протилежні. ПредложеніеЕслі матріцаімеет зворотну, тої. Доведення. Так як визначник твори матриць дорівнює добутку визначників. то. . тому. що неможливо при. З попереднього рівності слід також. Остання пропозиція можна сформулювати в наступному вигляді.Схожі статті