Викладемо ці властивості без доведення. Усюди в даному розділі буквою А позначається квадратна матриця з невід'ємними елементами, N- безліч, що складається з перших п натуральних чисел.
Визначення. Нехай S ⊆ N, S '= N - S. Кажуть, що безліч S ізольовано, якщо aij = 0. як тільки i ∈S ', j ∈ S. Поняття ізольованості безлічі S допускає економічну інтерпретацію на мові моделі Леонтьєва. Так, ізольованість безлічі S в моделі Леонтьєва означає, що галузі, номери яких належать множині S. не потребують в товарах, вироблених галузями, номери яких належать множині S '. Якщо перенумерувати індекси так, щоб S =, S '=, що відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці A. то матриця А прийме вид
де A1 і A3 -квадратние подматріци розмірів k × k і (n - k) × (n - k) відповідно.
Матриця А називається неразложимой. якщо в безлічі N немає ізольованих підмножин, тобто якщо одночасної перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до виду (2.8). Неразложимость матриці А в моделі Леонтьєва означає, що кожна галузь використовує хоча б побічно продукцію всіх галузей.
Відзначимо кілька простих властивостей нерозкладних матриць.
а) нерозкладного матриця не має нульових рядків і стовпців.
б) Якщо матриця A неразложима і y> 0. то Ay T> 0.
в) Нехай y ≥ 0, y ≠ 0; тоді вектор z = (E + A) y T має менше нульових координат, ніж вектор у. якщо це можливо. Крім того, якщо А неразложима x ≥ 0, x ≠ 0. то з нерівності Ax T ≤ # 945; x випливає, що
г) Теорема 1. (Фробениус - Перон про спектральних властивостях невід'ємних матриць).
1. нерозкладного матриця А має позитивне власне число # 955; А таке, що модулі всіх інших власних чисел матриці А не перевищують # 955; A.
2. Числу # 955; A відповідає єдиний (з точністю до скалярного множника> власний вектор Хa. Всі координати якого ненульові і одного знака (т. Е. Його можна вибрати позитивним). Власні вектори Хa і pA матриць A і AT відповідно, а також число C будемо називати фробеніусовимі .
Відзначимо, що якщо матриця А неразложима, то # 955; A є єдиним власним числом, для якого існує невід'ємні власний вектор. Нерозкладних матрицю А будемо називати стійкою. якщо для будь-якого вектора х послідовність A k x, k = 1,2, ..., сходиться. Приклад матриці, яка не є стійкою:
Нерозкладна матриця А називається циклічною. якщо безліч N = можна так розбити на m непересічних підмножин, що якщо aij> 0, i ∈ Sr, r ≥ 1, то j ∈ Sr-1. а при i ∈ S0 j ∈ Sm-i. Решта нерозкладних матриці називаються примітивними.
Теорема 2.Прімітівная матриця стійка. Ця теорема встановлює залежність властивості матриці бути стійкою від її зовнішнього вигляду. Разом з тим властивість матриці бути стійкою повністю визначається і властивостями її спектра - безліччю власних чисел. Справедливо наступне твердження.
Нерозкладна неотрицательная матриця А стійка тоді і тільки тоді, коли виконується нерівність | # 955; |<λA для любого ее собственного числа λ ≠ λ А .