Власні значення і власні вектори лінійного оператора. правити
Визначення. x → ≠ 0 →. A x → = λ x →> \ not =>: A> = \ lambda >>. де x - це деяке число, яке називають власним вектором оператора А, а λ - власним значенням.
A x → = λ x →. A x → = μ x → ⇒ 0 → = (λ - μ) x → ⇒ λ = μ> = \ lambda>, A> = \ mu> \ Rightarrow> = (\ lambda - \ mu)> \ Rightarrow \ lambda = \ mu> - кожному власному вектору соответствеут единственое власне значення.
F A (λ) = d e t (A e - λ E) - \ lambda E \ right)> - характірестіческій многочлен оператора А.
Умова наявності власних векторів: F A (λ) = 0 - хар-е ур-е (λ 1. .... Λ n, \ dots, \ lambda _> - коріння ур-я, підставляємо в систему і знаходимо власні вектори.)
Теорема про незалежність характерестіческого многочлена від вибору базису. \\ d e t (A e - λ E) = d e t (A f - λ E) - \ lambda E \ right) = det \ left (A _- \ lambda E \ right)>
det (A f - λ E) = det (T - 1 A e T - λ E) = det (T - 1 A e T - T - 1 (λ E) T) = det (T - 1) det (A e - λ E) det (T) = det (A e - λ E). - \ lambda E \ right) = det \ left (T ^ A_T- \ lambda E \ right) = det \ left (T ^ A_T-T ^ (\ lambda E) T \ right) = det (T ^) det ( A _- \ lambda E) det (T) = det (A _- \ lambda E).>
Властивості власних векторів Правити
- x → >> - власний вектор оператора А. після множення його на будь-яке число не рівне нулю, знову вийде власний вектор.
- якщо x → 1> _> і x → 2> _> - два власних вектора відповідних своїм значенням λ. то будь-яка їх лінійна комбінація α x → 1 + β x → 2 ≠ 0 →> _ + \ beta> _ \ not = >> - буде знову власним вектором.
- якщо λ 1. .... λ k, \ dots, \ lambda _> - характерестіческіе коріння, причому λ i ≠ λ j \ not = \ lambda _> при i ≠ j. кожному відповідає власний вектор λ 1 → x → 1. λ 2 → x → 2. ... \ rightarrow> _, \ lambda _ \ rightarrow> _, \ dots>. то система x → 1. .... x → k> _, \ dots,> _> лінійно незалежна.
для k = 1 - вірно, тому що власний вектор не може бути нульовим.