171 *. Визначити кути нахилу прямої АВ до пл. V і пл. Н фис. 166, а).
Рішення. Якщо пряма паралельна пл. V (рис. 166, б), то кут між цією прямою і пл. H (кут α) зображується без спотворення на фронт. проекції. Якщо ж пряма паралельна пл. H (рис. 166, в), то утворюється зтой прямий кут з пл. V (кут β) зображується без спотворення на горизонт. проекції. Тому, поставивши задану пряму загального положення спочатку паралельно пл. V, а потім паралельно пл. H, можна визначити відповідно кути α і β.
На рис. 166, г показано застосування способу зміни пл. проекцій для визначення кутів α і β. Так, для визначення кута α введена додаткова пл. S, перпендикулярна до пл. H і паралельна АВ, а для визначення кута β - додаткова площину Т ⊥ V і в той же час || АВ.
На рис. 166, д пряма як повернена: а) навколо осі, що проходить через точку В і перпендикулярної до пл. H, до паралельності пл. V (положення а'1 b '. А1 b) -
визначений кут α; б) навколо осі, що проходить через точку А перпендикулярно і пл. V, до паралельності пл. H (положення a'b'1. Ab1) - визначено кут β.
Звичайно, можна зобразити ці осі на кресленні; але, як видно, побудова можливо і без цього.
172. Дана піраміда SABCD (див. Рис. 154). Визначити кути нахилу ребер піраміди до пл. V і пл. Н.
173 *. Визначити кути нахилу площини, заданої трикутниках ABC (рис. 167, а), до пл. Н і пл. V.
Рішення. Як відомо, кут нахилу (α) площині до пл. H проектується без спотворення на пл. V, якщо площина перпендикулярна до пл. V (рис. 167, 6), а кут нахилу (β) площині до пл. V проектується без спотворення на пл. H, якщо площина перпендикулярна до пл. H (рис. 167, в).
На рис. 167, г для визначення углаос переходимо до системи S, H, де пл. S перпендикулярна до пл. H і до заданої площини (вісь S / Н перпендикулярна до горизонт. Проекції а-1 горизонталі).
Визначення кута β вироблено шляхом переходу від системи V, Н до системи Т, V, де пл. Т перпендикулярна до пл. V і до даної площини трикутника (вісь T / V перпендикулярна до фронт. Проекції с'2 'фронталі).
На рис. 167, д та ж задача вирішена способом паралельного переміщення. Спочатку все вершини заданого трикутника ABC переміщені в площинах, паралельних H, так, щоб площина трикутника виявилася перпендикулярної до пл. V. Це
досягнуто за допомогою горизонталі А-1, переміщеної так, що вона розташувалася перпендикулярно до пл. V (горизонт. Проекція а1 11 перпендикулярна до осі х). Отримуємо кут α нахилу площини трикутника до пл. H без спотворення.
Для визначення величини кута β нахилу площини трикутника ABC до пл. V трикутник повернений так, щоб він розташувався перпендикулярно до пл. H. Це зроблено за допомогою фронталі С-2: вона поставлена перпендикулярно до пл. H (положення C2 22. фронт. Проекція с'2 2'2 ⊥ х) і, отже, що проходить через цю фронтвль площину також перпендикулярна до пл. H.
174. Дана піраміда SABC (див. Рис. 161). Визначити кути нахилу граней SAB, SAC і ABC до пл. H і пл. V.
175. Дан паралелепіпед (див. Рис. 165). Визначити кути нахилу підстави ABCD і межі CDHG до пл. V і межі ADEH до пл. Н.
176 *. Визначити величину кута ВАС (рис. 168, а).
Рішення. Якщо площину кута паралельна будь-якої пл. проекцій, то даний кут проектується на неї без спотворення (рис. 168, б).
На рис. 168, в завдання виконане за допомогою способу зміни пл. проекцій. Так як площину кута ВАС є площиною загального положення (її горизонталь НЕ перпендикулярна до жодної з площин V, Н, W), то доводиться спочатку доповнити систему V, H пл. S, взявши її перпендикулярно до пл. H і до площини кута ВАС. В результаті цього перетворення проекція кута на площині S вийде у вигляді відрізка as ls. Тепер можна ввести ще одну додаткову пл. проекцій (T), провівши її перпендикулярно до пл. S і в той же час паралельно площині кута вaс. Кут lt at 2t представить собою натуральну величину кута ВАС.
На рис. 168, а шуканий кут ср визначено способом паралельного переміщення.
Спочатку площину кута переміщена так, щоб вона стала перпендикулярної до пл. V (для цього маємо горизонт. Проекцію горизонталі перпендикулярно до осі х). Потім маємо площину кута паралельно пл. H, для чого переміщаємо проекцію 1'1 a'1 в положення 1'2 a'2 (т. Е. || осі х). Ще одне побудова показано на рис. 168,6. Здсь для визначення величини кута застосований поворот навколо горизонталі: площину кута розташується паралельно пл. H (положення Т).
Побудови виконані в наступному порядку:
1. Проведена площину обертання точки А - горизонтально-проектує пл. R, перпендикулярна до горизонталі (т. Е. До осі обертання).
2. Відзначено центр обертання точки АВ перетині горизонталі з пл. R (точка О, О ') і вказані проекції радіусАВращенія (Оа і О'а').
3. Визначено натуральна величина радіусу обертання (її висловлює гіпотенуза Про А трикутника Оа А).
4. Проведено дуга окружності радіуса Про А я на Rh. знайдена точка a1 - горизонт. проекція вершини кута після його повороту навколо горизонталі до суміщення з пл. Т - і побудований кут 1А1 2, рівний шуканого.
Для вирішення завдань типу 176 найбільш раціональним є застосування обертання навколо горизонталі (або фронталі), як це показано на рис. 168, д.
177. Дана піраміда SABC (див. Рис. 156). Обертанням навколо горизонталі визначити кут між ребрами і SB, SB і SC, SC і SA.
178. Дан паралелепіпед (див. Рис. 165). Визначити кути між ребрами DH і CD, CG і CD, АВ і ВС.
179 *. Визначити величину кута між перехресними прямими АВ і CD (рис. 169, а).
Рішення. Кут між двома перехресними прямими визначається кутом, доставленим пересічними прямими, відповідно паралельними даними схрещуються. Для визначення величини кута треба почати з його зображення нр кресленні. Це зроблено на рис. 169,6, причому використана одна із заданих прямих - CD, через точку С якої проведена пряма СМ, паралельна інший заданнай прямий-АВ. Величина кута MCD (рнс.169, в) висловлює кут між прямими АВ і CD. Це зроблено за допомогою повороту навколо горизонталі 1-2 (рис. 169, а), взятої в пл. кута MCD.
180. Дана піраміда SABC (див. Рис. 160). Визначити величину кута між її ребрами: a) SB і АС, б) SA і ВС.
181 *. Визначити величину кута φ нахилу прямої АВ до площини, заданої трикутником CDE (рис. 170, а).
Рішення. Як відомо, кутом між прямою (АВ) і площиною (Р) називається гострий кут (φ) між прямою і її проекцією (АP К) на цій площині. Для побудови (рис. 170, б) цього кута треба знайти точки перетину з пл. Р прямої АВ і перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки прямої АВ на пл. Р. Але якщо, як в даному завданні, потрібно лише визначити величину кута нахилу прямої до площини, то простіше визначити величину кута δ, додаткового до кута φ: знайшовши кут δ, можна визначити величину кута φ зі співвідношення φ = 90 ° - δ. На рис. 170, в показано побудову проекцій am і а'm 'перпендикуляра до площини трикутника CDE, для чого взяті горизонталь цфронталь цій площині: am ⊥ e - 1, а'm' ⊥ е'2 '.
Тепер можна визначити (рис. 170, г) натуральну величину кута δ з вершиною А, - що зроблено поворотом навколо горизонталі b'З ', b-3. Шуканий кут φ = 90 ° -δ.
182. Дана піраміда SABC (див. Рис. 1611. Визначити кути нахилу ребер SA, SB і SC до межі AВС
183 *. Визначити кут між гранями аbс і ABD (рис. 171, а).
Рішення. Двогранний кут вимірюється лінійним кутом, отриманим в перетині граней двогранного кута площиною, перпендикулярної до обидва боки двугранного, а отже, і до лінії їх перетину, т. Е. Ребру двогранного кута. Якщо це ребро АВ виявиться перпендикулярним до будь-якої пл. Т (рис. 171,6), то отримана на пл. Т проекція двогранного кута висловлює його лінійний кут.
Для вирішення завдання (рис. 171, в) застосований спосіб зміни пл. проекцій. Від системи V, H здійснений перехід до системи S, V, де S ⊥ V і S || АВ, а потім від цієї системи S, V перехід до системи Т, S, де T ⊥ S і Т ⊥ AB.
Трикутники проектуються на пл.т у вигляді відрізків аt ct і аt dt. Кут між ними дорівнює шуканого кутку φ.
На рис. 171, г показано рішення тієї ж задачі за допомогою методу паралельного переміщення: ребро АВ поставлено перпендикулярно до пл. Н.
184 *. Визначити величину кута, утвореного площиною Р і площиною трикутника ABC (рис. 172, а).
Рішення. Якщо, вирішуючи це завдання, дотримуватися схеми рішення попередньої, то необхідно побудувати пряму перетину заданих площин. Але можна зробити й інакше, без побудови цієї прямої, т. Е. Не визначаючи що ребра шуканого двогранного кута. Можна поступити наступним чином: визначити не безпосередньо кут φ, а кут σ (рис. 172, б) між перпендикулярами КМ і KN, проведеними з будь-якої точки К на задані площини. Знайшовши кут σ, отримуємо φ = 180 ° - σ.
Таке рішення відрізняється в своїй суті від рішень по рис. 171, в і 171, а. Взявши деяку точку К (рис. 172, в), проведемо з неї перпендикуляри КN і КМ відповідно до площини трикутника ABC н до пл. Р: з точки k 'проводимо k'n' ⊥ a'b 'і k'm' ⊥ Pϑ. а з точки k - kn ⊥ ac і km ⊥ Ph. Таким чином виходить кут з проекціями mkn і n'k'n '(кут σ) .Натуральная величина цього кута отримана поворотом вркруг фронталі 1-2 (рис. 172, г). Так як отриманий гострий кут, то можна
вважати, що він визначає шуканий кут між заданими площинами, так як з суміжних кутів, отриманих при взаємному перетині двох площин, кутом між площинами вважається гострий.
185. Дана піраміда SABCD (див. Рис. 154). Визначити способом зміни площин проекцій кути між гранями SAB і SBC, SBC і SCD, SAD і SAB.
186. Дан паралелепіпед (рис. 165). Визначити кути між гранями CDHG і EFGH, BCGF і CDHG.