Числові ряди. Збіжність і сума ряду. Необхідна ознака збіжності. Знакопостоянного ряди. Достатні ознаки збіжності.
Раніше були встановлені властивості і правила при підсумовуванні кінцевого числа доданків, наприклад: сума не змінюється при перестановці доданків, похідна суми функцій дорівнює сумі їх похідних і т.д. Питання полягає в тому, що в жодному разі м за яких умов ці властивості кінцевих сум можуть переноситися на суми нескінченні.
Нехай дана послідовність дійсних чисел
називається числовим рядом. числа-членами ряду. - n -им або загальним членом ряду. Сума n перших членів ряду називається n -ої часткової сумою і позначається символом:.
Якщо для послідовності часткових сум існує кінцевий межа S. то ряд (1.1) називається збіжним. а число S-сума даного ряду. В цьому випадку пишуть:; .
Ряд (1.1) називається розбіжним. якщо не існує або нескінченний. Ряд, отриманий з (1.1) відкиданням перших його m членів, називається залишком ряду (1.1):
Ряд сходиться або розходиться разом зі своїм залишком.
Приклад 1: Нехай дана нескінченна послідовність. Розглянемо ряд:. Його «n-ая» часткова сума дорівнює:. Розглянемо випадки:
а) знайдемо, тобто кінцевий межа існує і він дорівнює кінцевому числу (сума нескінченно спадної геометричної прогресії).
б) при цьому: і тоді ряд розходиться.
в) Нехай. У цьому випадку ряд має вигляд: 1 + 1 + 1 + ... + 1 + .... При цьому часткова сума і. Значить ряд розходиться (за визначенням).
г) Нехай. У цьому випадку ряд має вигляд: 1-1 + 1-1 + 1 .... При цьому сума, а тоді межа послідовності часткових сум не існує і ряд не сходиться. Т.ч. маємо: вихідний ряд сходиться якщо і розходиться, якщо.
Приклад 2: Розглянемо ряд:. Зауважимо, що. При цьому n-ая часткова сума ряду дорівнює:
і тоді . Таким чином, встановили, що ряд сходиться і сума його дорівнює 1.
Приклад 3: Розглянемо ряд:. Розглянемо часткові суми ряду з номером:
Т.ч. маємо, що якщо, тому що менша сума прямує до нескінченності. Але ми розглянули тільки підпослідовність послідовності часткових сум. Послідовність є зростаючою послідовністю. Тоді і вона буде прагнути до нескінченності, тобто вихідний (гармонійний) ряд стає розбіжним.