Епюра від дії одиничної сили в точці А представлена на рис. 7.15, р
Для визначення вертикального переміщення в точці А необхідно перемножити епюру від навантаження на епюру від одиничної сили. Однак помічаємо, що на ділянці ВС сумарною епюри криволинейная епюра отримана не тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження, але також і від дії зосередженої сили Р. В результаті на ділянці ВС вже буде не елементарна параболічна епюра, наведена в таблицях 7.1 і 7.2, а по суті складна епюра, для якої дані цих таблиць недійсні.
Тому необхідно провести розшарування складної епюри по рис. 7.15, а на елементарні епюри, представлені на рис. 7.15, б і 7.15, в.
Епюра по рис. 7.15, б отримана тільки від зосередженої сили, епюра по рис. 7.15, в - тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Тепер можна перемножити епюри, використовуючи табл. 1 чи 2.
Для цього необхідно перемножити трикутну епюру по рис. 7.15, б на трикутну епюру по рис. 7.15, г і додати до цього результат перемноження параболічної епюри на рис. 7.15, в на трапецієподібну епюру ділянки ВС по рис. 7.15, г, так як на ділянці АВ ординати епюри по рис. 7.15, в дорівнюють нулю.
Покажемо тепер другий спосіб перемноження епюр. Розглянемо знову епюру по рис. 7.15, а. Приймемо початок відліку в перетині В. Покажемо, що в межах кривої LMNізгібающіе моменти можуть бути отримані як алгебраїчна сума згинальних моментів, відповідних прямий LN, і згинальних моментів параболічної епюри LNML, такий же, як і для простої балки довжиною а, завантаженої рівномірно розподіленим навантаженням q:
Найбільша ордината посередині буде дорівнює
.
Для доказу напишемо фактичне вираження згинального моменту в перерізі на відстані zот точки В
Напишемо тепер вираз згинального моменту в тому ж перерізі, отримане як алгебраїчна сума ординат прямий LNі параболи LNML.
Рівняння прямої LN
де k- тангенс кута нахилу цієї прямої
Отже, рівняння згинальних моментів, отримане як алгебраїчна сума рівняння прямої LNі параболи LNMNімеет вид
що збігається з виразом (А).
При перемножуванні епюр за правилом Верещагіна слід перемножити трапецію BLNCна трапецію з одиничною епюри на ділянці ВС (див. Рис. 7.15, г) і відняти результат перемноження параболічної епюри LNML (площею
) На ту ж трапецію з одиничною епюри. Такий спосіб розшарування епюр особливо вигідний, коли криволінійна ділянка епюри знаходиться на одному з середніх ділянок балки.
Приклад 7.7. Визначити вертикальне і кутове переміщення консольної балки в місці прикладання навантаження (рис. 7.16).
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів для вантажного стану (рис. 7.16, а).
Для визначення вертикального переміщення вибираємо допоміжне стан балки з одиничною силою в точці прикладання навантаження.
Будуємо епюру згинальних моментів від цієї сили (рис. 7.16, б). Визначаємо вертикальне переміщення за способом Мора
Значення згинального моменту від навантаження
Значення згинального моменту від одиничної сили
Підставляємо ці значення МР і Miпод знак інтеграла і інтегруємо
Цей же результат був раніше отриманий іншим способом.
Позитивне значення прогину показує, що точка прикладання навантаження Р переміщується вниз (в напрямку одиничної сили). Якби ми одиничну силу направили від низу до верху, то мали б Mi = 1zі в результаті інтегрування отримали б прогин зі знаком мінус. Знак мінус показував би, що переміщення відбувається не вгору, а вниз, як це і є в дійсності.
Обчислимо тепер інтеграл Мора шляхом перемноження епюр за правилом Верещагіна.
Так як обидві епюри прямолінійні, то байдуже, з якої епюри брати площу і з якої - ординату.
Площадьгрузовой епюри дорівнює
Центр тяжкості цієї епюри розташований на відстані 1 / 3l від закладення. Визначаємо ординату епюри моментів від одиничної сили, розташовану під
центром тяжіння вантажний епюри. Легко переконатися, що вона дорівнює 1 / 3l.
Той же результат виходить і по таблиці інтегралів. Результат перемноження епюр позитивний, так як обидві епюри розташовуються знизу стрижня. Отже, точка прикладання навантаження зміщується вниз, т. Е. За прийнятим напрямку одиничної сили.
Для визначення кутового переміщення (кута повороту) вибираємо допоміжне стан балки, в якому на кінці балки діє зосереджений момент, що дорівнює одиниці.
Будуємо епюру згинальних моментів для цього випадку (рис. 7.16, в). Визначаємо кутове переміщення, перемножая епюри. Площа вантажний епюри
Ординати епюри від одиничного моменту всюди дорівнюють одиниці. Отже, шуканий кут повороту перетину дорівнює
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження епюр позитивний. Таким чином, кінцеві перетин балки повертається за годинниковою стрілкою (у напрямку одиничного моменту).
Приклад: Визначити за способом Мора - Верещагіна прогин в точці Dдля балки, зображеної на рис. 7.17 ..
Рішення. Будуємо розшарування епюру моментів від навантаження, т. Е. Будуємо окремі епюри від дії кожного навантаження. При цьому для зручності перемноження епюр доцільно будувати розшаровані (елементарні) епюри щодо перетину, прогин якого визначається в даному випадку щодо перетину D.
На рис. 7.17, а представлена епюра згинальних моментів від реакції А (ділянка AD) і від навантаження Р = 4 Т (ділянка DC). Епюри будуються на стиснутому волокні.
На рис. 7.17, б представлені епюри моментів від реакції В (ділянка BD), від лівої рівномірно розподіленого навантаження (ділянка AD) і від рівномірно розподіленого навантаження, що діє на ділянці ВС. Ця епюра зображена на рис. 7.17, б на ділянці DCснізу.
Далі вибираємо допоміжне стан балки, для чого в точці D, де визначається прогин, докладаємо одиничну силу (рис. 7.17, в). Епюра моментів від одиничної сили зображена на рис. 7.17, г.Теперь перемножимо епюри з 1 по 7 на епюри 8 і 9, користуючись таблицями множення епюр, з урахуванням знаків.
При цьому епюри, розташовані з одного боку балки, перемножуються зі знаком плюс, а епюри, розташовані по різні боки балки, перемножуються зі знаком мінус.
При перемножуванні епюри 1 і епюри 8 отримаємо
Перемножая епюру 5 на епюру 8, отримаємо
Перемноження епюр 2 і 9 дає
Перемножуємо епюри 4 і 9
Перемножаемепюри 6 і 9
Підсумовуючи результати перемноження епюр, отримаємо
Знак мінус показує, що точка Dперемещается не вниз, як спрямована одинична сила, а вгору.
Цей же результат був отриманий раніше за універсальним рівнянням.
Звичайно, в даному прикладі можна було розшарувати епюру тільки на ділянці AD, так як на ділянці DBсуммарная епюра прямолінійна і її нема чого розшаровуватися. На ділянці ВС розшарування не потрібно, так як від одиничної сили на цій ділянці епюра дорівнює нулю. Розшарування епюри на ділянці ВС необхідно для визначення прогину в точці С.
Приклад. Визначити вертикальне, горизонтальне і кутове переміщення перетину А ламаного стрижня, представленого на рис. 7.18, а. Жорсткість перерізу вертикального ділянки стрижня - EJ1 жорсткість перетину горизонтальної ділянки - EJ2.
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів від навантаження. Вона представлена на рис. 7.18, б (див. Приклад 6.9). Для визначення вертикального переміщення перетину А вибираємо допоміжне стан системи, представлене на рис. 7.18, в. У точці А прикладена одинична вертикальна сила, спрямована вниз.
Епюра згинальних моментів для цього стану представлена на рис. 7.18, в.
Визначаємо вертикальне переміщення по методу Мора, використовуючи спосіб перемноження епюр. Так як на вертикальному стрижні в допоміжному стані епюра М1 відсутня, то перемножуємо тільки епюри, що відносяться до горизонтального стрижня. Площа епюри беремо з вантажного стану, а ординату - з допоміжного. Вертикальне переміщення одно
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження беремо зі знаком плюс. Отже, точка А переміщається вниз, т. Е. Так, як спрямована одинична вертикальна сила.
Для визначення горизонтального переміщення точки А вибираємо допоміжне стан з горизонтальною одиничною силою, спрямованої вліво (рис. 7.18, г). Епюра моментів для цього випадку представлена там же.
Перемножуємо епюри МPі М2 і отримуємо
Результат перемноження епюр позитивний, так як перемножуємо епюри розташовуються на одній і тій же стороні стрижнів.
Для визначення кутового переміщення вибираємо допоміжне стан системи по рис. 7.18,5 і будуємо епюру згинальних моментів для цього стану (на тому ж малюнку). Перемножуємо епюри МР і М3:
Результат множення позитивний, так як перемножуємо епюри розташовуються з одного боку.
Отже, перетин Aповорачівается за годинниковою стрілкою
Ті ж результати вийшли б і при використанні таблиць
перемноження епюр.
Вид деформованого стрижня показаний на рис. 7.18, е, при цьому переміщення сильно збільшені.
Феодос'єв В.І. Опір матеріалів. 1986
Бєляєв Н.М. Опір матеріалів. тисячу дев'ятсот сімдесят-шість
Работнов Ю.Н. Механіка деформованого твердого тіла. 1988