Якщо на тіло з масою m діють пружна сила Fу = -kX, сила тертя
де
пір, поки вся повідомляється зовнішньою силою енергія не буде повністю витрачатися на подолання тертя, яке пропорційно швидкості. Тому встановлюється рівновага, при якому сума кінетичної і потенційної енергії виявляється постійною. Ця умова характеризує стаціонарний стан системи.
В такому стані рух тіла буде гармонійним з частотою, рівній частоті зовнішнього збудження, але внаслідок інерції тіла його коливання будуть зрушені по фазі по відношенню до миттєвому значенню зовнішньої періодичної сили:
На відміну від вільних коливань амплітуда А і фаза вимушених коливань
залежать не від початкових умов руху, а визначатимуться лише властивостями коливної системи, амплітудою і частотою сили, що вимушує:
Видно, що амплітуда і зсув по фазі залежать від частоти змушує сили (рис.7 і 8).
Характерною особливістю вимушених коливань є наявність резонансу. Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушує сили до власної частоти вільних незгасаючих коливань тіла ω0 носить назву механічного резонансу. Амплітуда коливань тіла при резонансній частоті
З приводу резонансних кривих (див. Рис. 7) можна зробити такі зауваження. Якщо ω → 0, то всі криві (див. Також (35)) приходять до одного і того ж, відмінному від нуля, граничного значення
За умови малого загасання (β 2 << ω0 2) резонансна амплітуда (див. (37))
При цьому умови візьмемо відношення резонансного зміщення до статичного відхилення.
,
з якого видно, що відносне збільшення амплітуди коливань при резонансі визначається добротністю коливальної системи. Тут добротність є по суті коефіцієнтом посилення відгуку
Ця обставина обумовлює величезне значення явища резонансу у фізиці і техніці. Його використовують, якщо хочуть посилити коливання, наприклад, в акустиці - для посилення звучання музичних інструментів, в радіотехніці - для виділення потрібного сигналу з безлічі інших, що відрізняються по частоті. Якщо резонанс можетпрівесті до небажаного зростання коливань, користуються системою з малою добротністю.
Джерелом зовнішньої періодичної сили може служити друга коливальна система, пружно пов'язана з першою. Обидві коливальні системи можуть діяти одна на іншу. Так, наприклад, випадок двох зв'язаних маятників (рис. 9).
Система може здійснювати як синфазних (рис. 9б), так і протифазні (рис. 9с) коливання. Такі коливання називаються нормальним типом або нормальної модою коливань і характеризуються своїм власним нормальною частотою. При синфазних коливаннях зміщення маятників в усі моменти часу Х1 = Х2. а частота ω1 точно така ж, як частота окремо взятого маятника
Будь-яке стан нашої пов'язаної системи, в тому числі і початковий зсув Х (рис. 9а), можна представити у вигляді суперпозиції двох нормальних мод:
Якщо привести систему в рух з початкового стану Х1 = 0,
то зміщення маятників будуть описуватися виразами:
,
Частота коливань маятників дорівнює середній частоті двох нормальних мод
а їх амплітуда змінюється за законом синуса або конуса з меншою частотою, яка дорівнює половині різниці частоти нормальних мод
Повільне зміна амплітуди з частотою, яка дорівнює половині різниці частот нормальних мод, називається "биттям" двох коливань з майже однаковими частотами. Частота "биття" дорівнює різниці ω1 -ω2 частот, (а не половині цієї різниці), оскільки максимум амплітуди 2А досягається двічі за період, відповідний частоті
Звідси період биття виявляється рівним
При биття між маятника відбувається обмін енергією. Однак повний обмін енергією можливий тільки тоді, коли обидві маси однакові і ставлення (ω1 + ω2 / ω1 -ω2) дорівнює цілому числу. Необхідно відзначити один важливий момент: хоча окремі маятники можуть обмінюватися енергією, обмін енергією між нормальними модами відсутня.
Наявність таких, хто вагається систем, які взаємодіють між собою і здатні передавати один одному свою енергію, становлять основу хвильового руху.
Нестійке матеріальне тіло, поміщене в пружну середу, захоплює за собою і призводить в коливальний рух прилеглі до нього частинки середовища. Завдяки наявності пружних зв'язків між частинками коливання поширюються з характерною для даного середовища швидкістю по всій середовищі.
Процес поширення коливань у пружному середовищі називається хвилею. Розрізняють два основних типи хвиль: поздовжні і поперечні. У поздовжніх хвилях частинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі, а в поперечних - перпендикулярно до напрямку поширення хвилі. Чи не в кожній пружною середовищі можливе поширення поперечної хвилі. Поперечна пружна хвиля можлива лише в таких середовищах, в яких має місце пружна деформація зсуву. Наприклад, в газах і рідинах поширюються тільки поздовжні пружні хвилі (звук).
Геометричне місце точок середовища, до яких до даного моменту часу дійшло коливання, називається фронтом хвилі. Фронт хвилі відокремлює частину простору, уже залучену в хвильової процес, від області, в якій коливання ще не виникали. Залежно від форми фронту розрізняють хвилі плоскі, сферичні, циліндричні і т.д.
Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується без втрат в однорідному середовищі, має вигляд
де ξ (Х, t) - зміщення частинок середовища з координатою Х від положення рівноваги в момент часу t, А - амплітуда,
Довжиною хвилі λ називається відстань між точками, що коливаються з різницею фаз 2π, іншими словами, довжиною хвилі називається шлях, прохідний будь фазою хвилі за один період коливань:
фазова швидкість, тобто швидкість поширення даної фази:
Хвильове число - число довжин хвиль, що укладаються на довжині 2π одиниць:
k = ω / v = 2π / λ. (45)
Підставляючи ці позначення в (42), рівняння плоскої біжучої монохроматичної хвилі можна представити у вигляді
Відзначимо, що рівняння хвилі (46) виявляєподвійну періодичність по координаті і часу. Дійсно, фази коливань збігаються при зміні координати на λ і при
зміні часу на Т (період). Тому зобразити графічно хвилю на площині не можна. Часто фіксують час t і на графіку представляють залежність зміщення ξ від координати Х, тобто миттєве розподіл зсувів частинок середовища вздовж напрямку поширення хвилі (рис.11). Різниця фаз Δφ коливань точок середовища залежить від відстані ΔХ = Х2 - Х1 між цими точками
Якщо хвиля поширюється протилежно напрямку Х, то рівняння зворотної хвилі запишеться у вигляді:
ξ (Х, t) = АСos (ωt + kX). (48)
Стоячі хвилі - це результат особливого виду інтерференції хвиль. Вони утворюються при накладенні двох хвиль, що біжать, поширюються назустріч один одному з однаковими частотами і амплітудами.
Рівняння двох плоских хвиль, що поширюються уздовж осі Х в протилежних напрямках, мають вигляд:
Складаючи ці рівняння за формулою суми косинусів і враховуючи, що k = 2π / λ, отримаємо рівняння стоячої хвилі
Множник сos ωt показує, що в точках середовища виникає коливання тієї ж частоти ω з амплітудою
амплітуда коливань досягає максимального значення, рівного 2А. Ці точки називаються пучностями. З виразу (51) можна знайти координати пучностей:
У точках, де
амплітуда коливань звертається в нуль. Ці точки називаються вузлами. координати вузлів
Р
Розподіл вузлів і пучностей в стоячій хвилі залежить від умов, що мають місце на межі поділу двох середовищ, від якої відбувається відображення. Якщо відображення хвилі походить від середовища більш щільною, то фаза коливань в місці відображення хвилі змінюється на протилежну або, як кажуть, втрачається половина хвилі. Тому, в результаті складання коливань протилежних напрямків зміщення на кордоні дорівнює нулю, тобто має місце вузол (рис. 12).
У стоячій хвилі немає переміщення фаз, немає поширення хвилі, немає перенесення енергії, з чим і пов'язана назва такого типу хвиль.