Пляшка Клейна, занурена в тривимірний простір.
Пляшка Клейна - це певна неоріентіруемая поверхню (тобто двовимірне різноманіття). Пляшка Клейна вперше була описана в 1882 році німецьким математиком Ф. Клейном. Вона тісно пов'язана зі стрічкою Мебіуса і проективної площиною. Назва, очевидно, походить від неправильного перекладу німецького слова Fläche (поверхню), яке в німецькій мові близько за написанням до слова Flasche (пляшка).
Щоб побудувати модель пляшки Клейна, необхідно взяти пляшку з двома отворами: в денці і в стінці, витягнути шийку, зігнути його вниз, і протягнувши його через отвір в стінці пляшки (для справжньої пляшки Клейна в чотиривимірному просторі цей отвір не потрібно, але без нього не можна обійтися в тривимірному евклідовому просторі), приєднати до отвору на дні пляшки.
На відміну від звичайного склянки у цього об'єкта немає "краю", де б поверхню різко закінчувалася. На відміну від повітряної кулі можна пройти шлях зсередини назовні не перетинаючи поверхню (тобто насправді у цього об'єкта немає «всередині» і немає «зовні»).
Більш формально, пляшку Клейна можна отримати склеюванням квадрата ідентифікуючи точки (0, y)
(1-x, 1) при, як показано на діаграмі.
- Подібно стрічці Мебіуса. пляшка Клейна є двовимірним диференційовних неоріентіруемим різноманіттям. На відміну від стрічки Мебіуса, пляшка Клейна є замкнутим різноманіттям, тобто компактним різноманіттям без краю.
- Пляшка Клейна не може бути вкладена (тільки занурена) в тривимірне евклідів простір, але вкладається в.
- Пляшка Клейна може бути отримана склеюванням двох стрічок Мебіуса по краю. Однак в звичайному тривимірному евклідовому просторі зробити це, не створивши самопересеченія, невозожно.
- Хроматичної число поверхні дорівнює 6.
розсічення
При розтині пляшки Клейна виходить стрічка Мебіуса
Реалізація пляшки Клейна у вигляді вісімки
Якщо розрізати пляшку Клейна навпіл уздовж її осі симетрії. то результатом буде стрічка Мебіуса, зображена праворуч (необхідно пам'ятати, що зображеного перетину насправді немає).
параметризація
Класична параметризация Пляшки Клейна:
Пляшка Клейна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:
У цьому виді самоперетинів має форму геометричного кола в площині XY. Константа r дорівнює радіусу кола. Параметр u задає кут на площині XY і v позначає положення близько 8-образного перетину.
Пляшка Клейна в культурі
Скляна пляшка Клейна
- Зрідка зустрічається сувенір у вигляді скляної пляшки Клейна. Для виготовлення такої пляшки потрібен склодув високої кваліфікації. У тому місці, де пляшка перетинає сама себе, з технологічних причин доводиться залишати отвір.
- У серіалі Футурама в серії «The Route of All Evil» на полиці показано пиво Klein's, яке розлите в пляшки Клейна.