Розглянемо механічну систему з ідеальними зв'язками. Нехай активні сили системи. Дамо механічної системі віртуальне переміщення і обчислимо елементарну роботу сил системи на цьому переміщенні:
Використовуючи рівність (17.2) висловимо варіацію
Поміняємо в рівність (17.6) порядок підсумовування:
Позначимо в вираженні (17.7)
Узагальненими сіламіQjназивают коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат у виразі елементарної роботи сил системи.
Залежно від розмірності варіацій узагальнених координат
Способи обчислення узагальнених сил
Розглянемо три способи обчислення узагальнених сил.
1. Визначення узагальнених сил по основній формулі (17.8)
Формула (17.9) на практиці застосовується рідко. При вирішенні завдань частіше застосовується другий спосіб.
2. Спосіб «заморожування» узагальнених координат.
Дамо механічної системі таке віртуальне переміщення, при якому всі варіації узагальнених координат крім
.
Обчислимо на це переміщення роботу
.
За визначенням множник при варіації
Далі дамо системі віртуальне переміщення
і визначимо другу узагальнену силу Q2. обчисливши віртуальну роботу всіх сил системи
.
Аналогічно обчислимо всі інші узагальнені сили системи.
3. Випадок потенційного силового поля.
Припустимо, відома потенційна енергія механічної системи
.
Тоді і за формулою (32.8)
Принцип віртуальних переміщень статики в узагальнених координатах
Відповідно до принципу віртуальних переміщень статики для рівноваги системи з ідеальними утримують голономних, стаціонарними зв'язками необхідно і достатньо є умова
Переходячи до узагальнених координатах, отримаємо
Так як варіації узагальнених координат незалежні, то рівність нулю виразу (17.11) можливо тільки в тому випадку, коли всі коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат дорівнюють нулю:
Таким чином, для того, щоб механічна система з ідеальними, голономних, стаціонарними і утримують зв'язками перебувала в рівновазі необхідно і достатньо, щоб всі узагальнені сили системи дорівнювали нулю (при нульових початкових швидкостях системи).
Рівняння Лагранжа в узагальнених координатах (рівняння Лагранжа другого роду)
Рівняння Лагранжа виводяться із загального рівняння динаміки заміною віртуальних переміщень їх виразами через варіації узагальнених координат. Вони являють собою систему диференціальних рівнянь руху механічної системи в узагальнених координатах:
де
Т кінетична енергія системи, представлена як функція узагальнених координат і узагальнених швидкостей
,
Число рівнянь системи (17.13) визначається числом ступенів свободи і не залежить від кількості тел входять в систему. За ідеальних зв'язках в праві частини рівнянь увійдуть тільки активні сили. Якщо зв'язку неідеальні, то їх реакції слід віднести до активних силам.
У разі потенційних сил, що діють на механічну систему рівняння (17.13) приймуть вид
.
Якщо ввести функцію Лагранжа L = Т П. то враховуючи, що потенційна енергія не залежить від узагальнених швидкостей, отримаємо рівняння Лагранжа другого роду для випадку потенційних сил в наступній формі
При складанні рівнянь Лагранжа другого роду потрібно виконати наступні дії:
Встановити число ступенів свободи механічної системи і вибрати її узагальнені координати.
Скласти вираз кінетичної енергії системи і представити її як функцію узагальнених координат і узагальнених швидкостей.
Користуючись викладеними вище способами знайти узагальнені активні сили системи.
Виконати всі необхідні в рівняннях Лагранжа операції диференціювання.
Складемо диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла, що знаходиться під дією системи активних сил (ріс.17.3) по вище викладеним алгоритмом.
1. Тіло, яка вчиняє обертальний рух має одну ступінь свободи. За узагальнену координату приймемо кут :
2. Кінетична енергія тіла при обертанні навколо нерухомої осі дорівнює
де Jz момент інерції тіла відносно осі обертання z.
3. Визначимо узагальнену силу. Дамо тілу віртуальне переміщення і обчислимо віртуальну роботу всіх активних сил системи:
.
Отже, Q = Mz головний момент активних сил системи відносно осі обертання тіла.
4. Виконаємо операції диференціювання в рівнянні Лагранжа
Підставляючи рівності (17.15) в рівняння (173
14) отримаємо диференціальне рівняння обертального руху тіла
