Короткий опис документа:
На минулих заняттях ви ознайомилися з правилами знаходження похідної функції, дізналися про застосування похідної для дослідження функції на монотонність і екстремум; навчилися знаходити дотичну до графіка функції.
Згадаймо правила обчислення похідних:
Похідна будь-якого числа дорівнює нулю.
Похідна ікси дорівнює одиниці.
Похідна ка ікс плюс ем дорівнює ка.
Похідна одиниці, поділеній на ікс, дорівнює мінус одиниці, поділеній на ікс в квадраті.
Похідна корінь з ікс дорівнює одиниці, поділеній на два корінь з ікс.
Похідна синуса ікс дорівнює косинус ікс.
Похідна косинуса ікс дорівнює мінус синус ікс.
Похідна ікс в ступеня ен дорівнює ен, помножене на ікс в ступеня ен мінус один.
Іноді доводиться вирішувати і зворотні завдання, наприклад, відновити закон руху по відомій швидкості.
У математиці прийнято взаємно зворотним операціям привласнювати спеціальні назви.
Наприклад, операція, зворотна множенню, - це поділ.
Операція вилучення квадратного кореня обратна зведення в квадрат.
Процес знаходження похідної заданої функції називається диференціюванням, а операція, зворотна їй, - інтеграцією (процес знаходження функції по даній похідною).
Тобто функцію, яка виступає як би родоначальником для похідної даної функції, прийнято називати первісної.
Визначення: функцію ігрек рівне еф велике від ікс називають первісною для функції ігрек рівне еф мале від ікс на заданому проміжку ікс велике, якщо для будь-якого ікс, що належить даному проміжку, виконано рівність:
Проміжок, якому належить ікс, зазвичай не вказують, але мають на увазі.
1.Функция ігрек, рівне ікс в квадраті, є первісною для функції ігрек, рівне два ікс, так як для будь-якого ікс справедливо рівність: похідна ікс в квадраті дорівнює два ікс.
2. Функція ігрек, рівне ікс в кубі, є первісною для функції ігрек, рівне три ікс в квадраті, так як для будь-якого ікс справедливо рівність: похідна ікс в кубі дорівнює три ікс в квадраті.
3.Функції ігрек, рівне синус ікс, є первісною для функції ігрек, рівне косинус ікс, так як для будь-якого ікс виконується рівність: похідна синуса ікс дорівнює косинус ікс.
4.Функция ігрек, рівне корінь з ікс, є первісною для функції ігрек, рівне один, поділене на два корінь з ікс, на проміжку від нуля до нескінченності, так як для будь-якого ікс більше нуля виконується рівність: похідна корінь з ікс дорівнює одиниці, поділеній на два корінь з ікс.
Знаючи формули для знаходження похідних, не складно скласти таблицю первісних:
1.Первообразная нуля дорівнює константі.
2.Первообразная одиниці дорівнює ікс.
3.Первообразная для ікс дорівнює ікс в квадраті, поділене на два.
4. Первісна для функції ікс в ступеня ен, Ен належить множині натуральних чисел, дорівнює ікс в ступеня ен плюс один, поділене на ен плюс один.
5.Первообразная для функції один, поділене на ікс в квадраті, дорівнює мінус один, поділене на ікс.
6.Первообразная для функції один, поділене на корінь з ікс дорівнює два корінь з ікс, причому ікс більше нуля.
7. Первісна для функції синус ікс дорівнює мінус косинус ікс.
8. Первісна для функції косинус ікс дорівнює синус ікс.
9. Первісна для функції один, поділене на синус в квадраті ікс, дорівнює мінус котангенс ікс.
10. Первісна для функції один, поділене на косинус в квадраті ікс, дорівнює тангенс ікс.
Розглянемо приклади на знаходження первісної різних функцій.
Довести, що функція є первісною для функції. якщо первісна функції дорівнює ікс в шостого ступеня, сама функція дорівнює шість ікс в п'ятого ступеня.
1. За визначенням первісної, функцію ігрек, рівне еф велике від ікс, називають первісною для функції ігрек, рівне еф мале від ікс, на заданому проміжку ікс велике, якщо для будь-якого ікс, що належить даному проміжку, виконано рівність.
2. Знайдемо похідну еф велике за формулою знаходження похідної степеневої функції. вона дорівнює шість ікс в п'ятого ступеня.
Ми отримали рівність двох виразів, значить, за визначенням первісної, функція еф велике, що дорівнює ікс в шостого ступеня, є первісною для функції еф мала, що дорівнює шість ікс в п'ятого ступеня.
Для функції (ігрек, рівне еф від ікс мале) знайти первісну, якщо
(Еф від ікс одно мінус один, поділене на ікс в кубі).
1.За визначення ступеня з цілим від'ємним показником представимо вираз мінус один, поділене на ікс в кубі, у вигляді: мінус ікс в мінус третього ступеня.
2. За формулою знаходження первісної статечної функції, знайдемо первісну для функції еф від ікс, рівне мінус ікс в мінус третього ступеня.
Отримаємо, мінус ікс в ступеня мінус три плюс один, поділене на мінус три плюс один.
Спрощуючи вираз, маємо мінус ікс в ступеня мінус два, поділене на мінус два, скоротивши мінуси, отримуємо: ікс в ступеня мінус два, поділене на два.
За визначенням ступеня з цілим від'ємним показником представимо вираз у вигляді: один, поділене на два ікс в квадраті.
Таким чином, первісною для функції еф від ікс мале, що дорівнює мінус один, поділене на ікс в кубі, є функція еф велике, що дорівнює один, поділене на два ікс в квадраті.