У практиці зустрічаються завдання визначення екстремуму функціоналів, коли кінці варійованих кривих фіксовані, вільні, або належать деякому різноманіттю. У цих граничних точках повинні бути встановлені таким чином звані умови трансверсальності.
Умови трансверсальності для фіксованого інтервалу T:
необхідно досліджувати разом з граничними значеннями для x (t), які можуть бути фіксованими або вільними (рис. 1).
Мал. 1.2.1 Допустимі функції x (t) в залежності від граничних умов
Якщо граничне значення х (tгр) задано (де tгр = 0 або T), то варіація повинна бути дорівнює нулю і на значення похідної ніяких обмежень не накладається.
Якщо граничне значення х (tгр) вільно, то варіація може бути довільною, отже, повинна бути дорівнює нулю [2].
Розглянемо різні завдання для фіксованого інтервалу оптимізації Т.
1. Початкове х (0) і кінцеве х (Т) значення вихідної величини задані (завдання з закріпленими граничними точками, рис. 1.2.1, а).
У цьому завданні всі можливі криві x (t), серед яких шукається екстремали x * (t), повинні починатися і закінчуватися в заданих точках. Варіації (0) і (Т) дорівнюють нулю і на значення похідної заходи помилки на кордонах інтервалу ніяких обмежень не накладається. Постійні інтегрування C1, С2 перебувають з граничних умов для х (0), х (Т) і умови трансверсальності не використовуються.
2. Початкове х (0) значення вихідної величини фіксоване, а кінцеве х (Т) - вільно (завдання з рухомою правої кордоном, рис .12.1, б).
Так як х (Т) може приймати довільні значення, то варіація (Т) також може бути будь-який, отже, умова трансверсальності буде виконано тільки при рівності нулю похідної
Таким чином, два граничних умови х (0) і дозволяють знайти значення постійних інтегрування C1, С2.
Аналогічно визначаються граничні умови в задачі з незакріпленої початковою точкою х (0) і фіксованою кінцевої х (Т) (задача з рухомою лівої кордоном, рис. 1.2.1, в).
На лівій межі варіація (0) може бути будь-який, тоді. З цієї умови і граничного значення х (Т) знаходяться постійні інтегрування.
4. Початкове x (0) і кінцеве х (Т) значення вихідної величини вільні (завдання з незакріпленими граничними точками, рис. 12.1, г).
Так як варіації (0) і (Т) можуть бути будь-якими, то з умов трансверсальності слід, що на кордонах повинна звертатися в нуль похідна заходи помилки
Звідси визначаються постійні інтегрування С1 і С2.
Нехай дано наступний функціонал
де: функція характеризує стан системи в момент t = T.