ТОПОЛОГІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються при неперервних деформаціях, таких, наприклад, як розтягнення, стиснення або згинання. Безперервна деформація - це деформація фігури, при якій не відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) або склеювання (тобто ототожнення її точок). Такі геометричні властивості пов'язані з положенням, а не з формою або величиною фігури. На відміну від евклідової і ріманової геометрій, геометрії Лобачевського і інших геометрій, що займаються вимірюванням довжин і кутів, топологія має Неметричні і якісний характер. Раніше вона носила назви «аналіз сітус» (аналіз становища), а також «теорія точкових множин». У науково-популярній літературі топологію часто називають «геометрією на гумовому аркуші», оскільки її наочно можна уявляти собі як геометрію фігур, намальованих на ідеально пружних гумових листах, які піддаються розтягування, стиснення або вигинання. Топологія - один з новітніх розділів математики.
У 1640 французький філософ і математик Р. Декарт (1596-1650) знайшов інваріантне співвідношення між числом вершин, ребер і граней простих багатогранників. Це співвідношення Декарт висловив формулою V - E + F = 2, де V - число вершин, E - число ребер і F - число граней. У 1752 швейцарський математик Л. Ейлер (1707-1783) дав строгий доказ цієї формули. Ще один внесок Ейлера в розвиток топології - це рішення знаменитої задачі про Кенігсбергськая мостах. Йшлося про острів на річці Прегель в Кенігсберзі (в тому місці, де річка розділяється на два рукави - Старий і Новий Прегель) і семи мостах, що з'єднують острів з берегами. Завдання полягало в тому, щоб з'ясувати, чи можна обійти всі сім мостів з безперервного маршруту, побувавши на кожному тільки один раз і повернувшись у вихідну точку. Ейлер замінив ділянки суші точками, а мости - лініями. Отриману конфігурацію Ейлер назвав графом, точки - його вершинами, а лінії - ребрами. Вершини він розділив на парні і непарні в залежності від того, парне або непарне число ребер виходить з вершини. Ейлер показав, що всі ребра графа можна обійти рівна по одному разу з безперервного замкнутому маршруту, лише якщо граф містить тільки парні вершини. Так як граф в завданню про Кенігсбергськая мостах містить тільки непарні вершини, мости неможливо обійти по безперервному маршруту, побувавши на кожному рівно по одному разу і повернувшись до початку маршруту.
Запропоноване Ейлером рішення задачі про кенігсберзькими мостах залежить тільки від взаємного розташування мостів. Воно поклало формальний початок топології як розділу математики. К.Гаусс (1777-1855) створив теорію вузлів, якій пізніше займалися І.Лістінг (1808-1882), П.Тейт (1831-1901) і Дж.Александер. У 1840 А.Мёбіус (1790-1868) сформулював так звану проблему чотирьох фарб, яку згодом досліджували О.де Морган (1806-1871) і А.Келі (1821-1895). Першим систематичним працею по топології були Попередні дослідження по топології лістингу (1874).
Засновниками сучасної топології є Г. Кантора (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) і Л.Брауер (1881-1966).
Розділи топології.
Топологію можна поділити на три області: 1) комбінаторних топологію, що вивчає геометричні форми за допомогою їх розбиття на найпростіші фігури, регулярним чином примикають один до одного; 2) алгебраїчну топологію, що займається вивченням алгебраїчних структур, пов'язаних з топологічними просторами, з упором на теорію груп; 3) теоретико-множинну топологію, що вивчає безлічі як скупчення точок (на відміну від комбінаторних методів, що представляють об'єкт як об'єднання простіших об'єктів) і описує безлічі в термінах таких топологічних властивостей, як відкритість, замкнутість, зв'язність і т.д. Зрозуміло, такий розподіл топології на області в чомусь довільно; багато топологи воліють виділяти в ній інші розділи.
Деякі основні поняття.
Топологічний простір складається з безлічі точок S і набору S підмножин множини S. задовольняє наступним аксіомам:
(1) всі безліч S і порожня множина належать набору S;
(2) об'єднання будь-якої сукупності множин з S є безліч з S;
(3) перетин будь-якого кінцевого числа множин з S є безліч з S.
Безлічі, що входять в набір S, називаються відкритими множинами. а сам цей набір - топологією в S. Див. МНОЖИН ТЕОРІЯ.
Топологічний перетворення. або гомеоморфизм. однієї геометричної фігури S на іншу, S ў, - це відображення (p ® p ў) точок p з S в точки p ў з S ў, яке задовольняє наступним умовам: 1) встановлюється їм відповідність між точками з S і S ў взаємно однозначно, тобто кожній точці p з S відповідає тільки одна точка p ў з S ў і в кожну точку p ў відображається тільки одна точка p; 2) відображення взаємно безперервно (безперервно в обидві сторони), тобто якщо задані дві точки p. q з S і точка p рухається так, що відстань між нею і точкою q прагне до нуля, то відстань між відповідними точками p ў, q ў з S ў також прагне до нуля, і навпаки.
Геометричні фігури, що переходять одна в іншу при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Коло і межа квадрата гомеоморфні, так як їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто згинанням і розтягуванням без розривів і склеювання, наприклад, розтягуванням кордону квадрата на описану навколо нього коло). Сфера і поверхню куба також гомеоморфні. Щоб довести гомеоморфними фігур, досить вказати відповідне перетворення, але той факт, що для якихось фігур знайти перетворення нам не вдається, не доводить, що ці фігури не гомеоморфні. Тут допомагають топологічні властивості.
Топологічним властивістю (або топологічним інваріантом) геометричних фігур називається властивість, яким разом з даної фігурою володіє також будь-яка фігура, до якої вона переходить при топологічному перетворенні.
Будь-яке відкрите зв'язне безліч, що містить принаймні одну точку, називається областю.
Область, в якій будь-яку замкнену просту (тобто гомеоморфними окружності) криву можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, називається однозв'язної. а відповідне властивість області - однозв'язного. Якщо ж деяку замкнуту просту криву цій галузі не можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, то область називається многосвязной. а відповідне властивість області - багатозв'язна. Уявіть собі дві кругові області, або диски, одну без дірок, а іншу з дірками. Перша область однозв'язна, друга багатозв'язна. Однозв'язного і багатозв'язних - топологічні властивості. Область з дірою не може перейти при гомеоморфізмом в область без дірок. Цікаво відзначити, що якщо в багатозв'язних диску провести по розрізу від кожної з дірок до краю диска, то він стане однозв'язного.