Теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання робить її красивою. Робота з вивчення цього питання вимагає величезних зусиль часу і посидючості. Але вона дуже цікава! У підручнику наводиться лише один доказ цієї теореми, в той час як їх існує близько 500!
Я розділила роботу на 2 частини: історичну і математичну.
У першій частині я описали діяльність одного з видатних людей філософа і математика Піфагора Самоський, а так само деякі факти з історії відкриття теореми, яка за часів Піфагора звучала так: «Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів побудованих на катетах». Відкриття цієї теореми оточене ореолом красивих легенд.
У другій частині роботи наводяться деякі з відомих способів доведення теореми. Учні середніх століть вважали доказ цієї теореми дуже складним, і нерідко через цієї теореми бігли від геометрії. Докази супроводжуються різними кресленнями, які породили безліч прізвиськ цієї теореми, віршів і карикатур.
Підписи до слайдів:
Стародавньому Китаї за 1100 років до н.е. було встановлено наочний доказ даної теореми, що міститься в найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-бі».
Візьмемо мотузку довжиною в 12 лінійних одиниць і прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3 одиниці від одного кінця і 4 одиниці від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4. Відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент: зображення столярній майстерні.
Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. a 2 + b 2 = c 2 Р азлічних формулювання теореми Піфагора в перекладі з грецької, латинської та німецької мов. 1. У Евкліда теорема свідчить. "У прямокутному трикутнику квадрат боку, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадрату на сторонах, що містять прямий кут". 2. У Geometric Culmonensis в перекладі теорема читається. "П лощадь квадрата, виміряного по довгій стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що прилягає до прямого кута". 3. В евклідових "Почав" теорема Піфагора викладена так: "У прямокутних трикутниках квадрат з боку, протилежній прямого кута, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут".
bca CDAB Доказ: 1.Построім висоту з прямого кута С. За визначенням косинуса гострого кута: Cos A = AD: AC = AC: AB 2.Аналогічно: cos B = BD: BC = BC: AB AB * BD = BC 2 Складаючи отримані рівності почленно і помічаючи, що AD + DB = AB, отримаємо: AC 2 + BC 2 = AB (AD + DB) = AB 2 AB * AD = AC 2
Доказ: 1.Построім Δ ABC з прямим кутом С. 2.Построім BF = CB, BF CB 3.Построім BE = AB, BE AB 4.Построім AD = AC, AD AC 5.Точкі F, C, D належать одній прямій. D A B C a b c F E 6. 1) чотирикутники DABF і ACBE рівновеликі. 2) Δ ABF = ДЕ CB (по 2-м сторонам і куту між ними). 3) Δ ADF і Δ ACE рівновеликі. 7.Отнімем від чотирикутників Δ ABC: 1 / 2а 2 +1/2 b 2 = 1/2 з 2 8.Соответственно: а 2 + b 2 = з 2
Доказ: 1.Площадь даного прямокутного трикутника з одного боку дорівнює 0,5 * a * b. з іншого 0,5 * p * r. r = 0. 5 * (a + b-c). 2. Маємо: 0, 5ab = 0. 5pr = 0, 5 * (a + b + с) * 0. 5 * (a + b-c) 3. 2а b = а 2 + 2ab + b 2 _ з 2 4.Отсюда слід, що з 2 = а 2 + b 2 Теорема доведена.
Теорема: Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. c b a S1 S 2 Доказ: 1.Опустім висоту на гіпотенузу C площа треугольніка- S, розбивається на 2 йому подібних з площами S 1 і S 2. 2.Площаді трикутників відносяться як квадрати їх гіпотенуз. Отже, S1: S2: S = a 2. b 2. c 2. Але, S1 + S2 = S, тобто a 2 + b 2 + c 2 Теорема доведена.
Над озером тихим, З полфута розміром, височів лотоса колір. Він ріс самотньо. І вітер поривом відніс його в сторону. Немає Боле квітки над водою, Знайшов же рибалка його ранньою весною В двох футах від місця, де ріс. Отже, запропоную я питання: Як озера вода Тут глибока?
Рішення: (х + ½) 2 - х 2 = 2 2 х 2 + х + ¼- х 2 = 4 х = 3 ¾ (фути) -глибина озера. Відповідь: глибина озера = 3 ¾ (фути) Х 2 Х + 1/2
На березі річки ріс тополя самотній. Раптом вітру порив його стовбур надламаний. Бідний тополя впала. І кут прямий З за водою річки його стовбур складав. Запам'ятай тепер, що в тому місці річка О четвертій лише фута була широка. Верхівка схилилася біля краю річки. Залишилося три фути всього від стовбура, Прошу тебе, скоро тепер мені скажи: У тополі як велика висота?
3 2 +4 2 = x 2 х 2 = 25 х = 5 (футів) - довжина відламаний частини стовбура; 3 + 5 = 8 (футів) - висота тополі. Відповідь: висота тополі = 8 (футів) 3 4
Ще раз хочеться сказати про важливість теореми. Значення її полягає перш за все в тому, що з неї або з її допомогою можна вивести більшість теорем геометрії. На жаль, неможливо тут привести все або навіть найкрасивіші доведення теореми, проте хочеться сподівається, що наведені приклади переконливо свідчать про величезний інтерес сьогодні, та й вчора, який проявляють по відношенню до неї. Дякую за увагу!