Тема. розрахунок кількості можливих варіантів (комбінаторика) [1]
Що потрібно знати:
· Якщо на кожному кроці відомо кількість можливих варіантів вибору, то для обчислення загальної кількості варіантів потрібно всі ці числа перемножити;
наприклад, в двозначному числі ми можемо вибрати першу цифру 9 способами (вона не може бути нулем), а другу - 10 способами, тому все є 9 · 10 = 90 двозначних чисел
· Якщо ми розбили всі потрібні нам комбінації на кілька груп (які не мають спільних елементів!) І підрахували кількість варіантів в кожній групі, то для обчислення загальної кількості варіантів потрібно всі ці числа скласти;
наприклад, є 9 · 10 = 90 тризначних чисел, що закінчуються на 5, і 9 · 10 = 90 тризначних чисел, що закінчуються на 2, тому 90 + 90 = 180 тризначних чисел закінчуються на 2 або на 5
· Якщо в попередньому випадку групи мають спільні елементи, їх кількість потрібно відняти з отриманої суми;
наприклад, є 9 · 10 = 90 тризначних чисел, що закінчуються на 5, і 10 · 10 = 100 тризначних чисел, що починаються на 5; в обидві групи входять числа, які починаються і закінчуються на 5, їх всього 10 штук, тому кількість чисел, які починаються або закінчуються на 5, так само 90 + 100-10 = 180.
Що не заважає знати:
· Якщо є n різних елементів, число їх різних перестановок одно Факторіалом числа n. тобто твору всіх натуральних чисел від 1 до n:
наприклад, три об'єкти (А, Б і В) можна переставити 6 способами (3! = 1 · 2 · 3 = 6):
(А, Б, В), (А, В, Б), (Б, А, В), (Б, В, А), (В, А, Б) і (В, Б, А)
· Якщо потрібно вибрати m елементів з n (де n³m) і дві комбінації, що складаються з одних і тих же елементів, розташованих в різному порядку, вважаються різними, число таких комбінацій (вони називаються розміщеннями) одно
наприклад, в змаганні п'яти спортсменів призові місця (перші три) можуть розподілитися 60 способами, оскільки
· Якщо потрібно вибрати m елементів з n (де n³m) і порядок їх розташування не грає ролі, число таких комбінацій (вони називаються сполученнями) одно
наприклад, вибрати двох чергових з п'яти чоловік можна 10 способами, оскільки
Приклад завдання:
Скільки існує різних чотиризначних чисел, в запису яких використовуються тільки парні цифри?
1) першою цифрою може бути будь-яка парна цифра, крім нуля (інакше число не буде чотиризначним) - це 2, 4, 6 або 8, всього 4 варіанти
1) Скільки існує чотиризначних чисел, в яких є рівно дві вісімки, не варті поруч?
2) Скільки існує чотиризначних чисел, складених з різних парних цифр?
3) Скільки існує чотиризначних чисел, в запису яких є хоча б одна парна цифра?
4) Скільки існує чотиризначних чисел, які діляться на 5?
5) Скільки існує чотиризначних чисел, що не перевищують 3000, в яких рівно дві цифри «3»?
6) У чемпіонаті з шахів брали участь 40 спортсменів. Кожен з кожним зіграв по одній партії. Скільки всього партій було зіграно?
7) У вазі лежать яблуко, груша, персик і абрикос. Каті дозволили вибрати два якихось фрукта. Скільки у Каті варіантів вибору?
8) У Паші є 6 повітряних кульок різного кольору. Три з них він хоче подарувати Маші. Скількома способами він може це зробити?
9) Скільки існує чотиризначних чисел, які читаються однаково «зліва направо» і «справа наліво»?
10) Ланцюжок з трьох намистин формується за наступним правилом: На першому місці в ланцюжку стоїть одна з намистин А, Б, В. На другому - одна з намистин Б, В, Г. На третьому місці - одна з намистин А, В, Г , не варта в ланцюжку на першому або другому місці. Скільки всього є таких ланцюжків?
[1] У демонстраційних варіантах завдань такого типу немає. Однак репетиційні іспити в різних центрах тестування (в тому числі при ВУЗах) говорять про те, що вони можуть бути.