Існує важливий клас інтегральних рівнянь, які легко вирішуються шляхом зведення до системи алгебраїчних рівнянь. Такими інтегральними рівняннями є з так званими виродженими ядрами.
Визначення: Ядро інтегрального рівняння називається виродженим, якщо його можна представити у вигляді суми кінцевого числа доданків, кожне з яких є твір двох функцій, причому перша залежить лише від х, а друга - тільки від # 958 ;:
Вважаємо, що і безупинні на [a, b] і що, а також лінійно незалежні між собою.
Рівняння (1) має вигляд:
Підставами (29) в (1):
Так як . лінійно незалежні, то
Вирішивши систему (32), ми тим самим вирішимо і цю інтегральне рівняння, використовуючи формулу (29). Якщо алгебраїчна система (32) не розв'язна, то таке і інтегральне рівняння.
D (# 955;) - многочлен ступеня ≤ n, причому D (# 955;) ≠ 0, так як при # 955; = 0, D (0) = 1. отже, D (# 955;) має ≤ n різних коренів.
D (# 955;) називають визначником Фредгольма для рівняння (1).
1. Якщо # 955; таке, що D (# 955;) ≠ 0, то система (32), а, отже, і рівняння (1) має єдине рішення, яке визначається формулою (29). В цьому випадку при f (x) = 0, а отже, і система (32) має єдине рішення; отже # 966; (х) = 0. Це означає, що ті # 955 ;, для яких D (# 955;) ≠ 0, не є власними значеннями.
Висновок. якщо # 955; не є власним значенням, то рівняння (1) має єдине рішення.
Очевидно, що для того, щоб неоднорідне рівняння (1) мало єдине рішення при будь-f (x) (
Зауваження: Як правило, при вирішенні інтегральних рівнянь доводиться часто вдаватися до наближених методів. При цьому важливо встановити можливість розв'язання рівняння при будь-правій частині (користуючись першої теоремою). Зручніше буває довести, що однорідне рівняння або транспонувати до нього (поєднане) має лише тривіальне рішення. Звідси в силу теореми 1 випливає можливість розв'язання неоднорідного рівняння.
Три фундаментальні теореми Фредгольма, що стосуються можливості розв'язання рівнянь з виродженими ядрами, можна поширити і на випадок довільного безперервного ядра.
Знайти рішення рівнянь з виродженими ядрами:
Рішення: Позначимо
Система [5] має вигляд:
D (# 955;) = 0; ; - власні числа рівняння.
якщо # 955; ≠. # 955; ≠. то D (# 955;) ≠ 0 і система має єдине рішення:
- єдине рішення інтегрального рівняння
D (# 955;) ≠ 0 при будь-яких дійсних # 955 ;.
За формулами Крамера;
Якщо. то єдине рішення рівняння
Рішення: = x + # 958; - безперервно в квадраті 0≤х, # 958; ≤1 і є виродженим.
Якщо. то єдине рішення
-
єдине рішення рівняння при.
Рішення існує, єдине і може бути знайдено методом послідовних наближень при
Рішення: Ядро - вироджений.
за формулами [6] - [7] обчислюємо
Система [5] приймає вид
= С, = -π + 2С, де С - довільна постійна.
Відповідь: Будь-яка функція виду
є рішення даного інтегрального рівняння і інших рішень це рівняння не має.
Завдання для самостійної роботи:
Вирішити інтегральні рівняння з виродженими ядрами