Сумарна чисельність популяції
Як уже згадувалося раніше, нас іноді цікавить не тільки число особин деякого співтовариства, фактично живуть в будь-який момент часу, але і загальне число будь-коли жили особин. Вирішити це завдання значно легше, ніж це може здатися з першого погляду. Розглянемо, наприклад, простий процес розмноження і загибелі, описаний в розд. 8.2, зі швидкостями розмноження і загибелі, що дорівнюють відповідно Р і Для опису числа особин, що живуть в популяції в момент часу t, використовуємо випадкову величину, а для опису сумарною чисельності популяції - випадкову величину. Тоді випадкова величина буде повторювати позитивні скачки випадкової величини, але не буде повторювати її негативні скачки, так як вона змінюється тільки при появі в популяції нових членів.
Таким чином, єдиними ненульовими значеннями функції є
Легко бачити, що основне диференціальне рівняння в приватних похідних для виробляє функції моментів має вигляд
при початковому умови
Рівняння (8.57) як і раніше справедливо, навіть якщо і є функціями t. Тому цілком можна застосувати звичайний метод, заснований на виведенні рівняння для виробляє функції семіінваріантов і звичайних диференціальних рівнянь для семіінваріантов, причому для певних функцій цей метод може виявитися дуже корисним. Однак отримати рішення в явному вигляді для загального випадку поки неможливо.
Коли і - постійні, дозволити звичайні диференціальні рівняння досить легко. Що стосується математичного очікування і дисперсії числа живих особин популяції, то повинні знову вийти значення, задані формулами (8.33) і (8.34), так як ми не припускали зміни законів розвитку цієї групи особин. Однак математичне очікування і дисперсія для популяції виражаються іншими формулами:
Якщо то граничні значення при мають вигляд
так що середнє число особин, коли-небудь існували в популяції (при виразно відбудеться вимирання), так само; сюди входять а особин, що були в початковий момент
Далі можна знайти в явному вигляді вираз для виробляє функції ймовірностей. Вважаючи в формулах (8.57) і знаходимо, що відповідне рівняння для має вигляд
при початковому умови
(Рівняння (8.62) можна було також записати безпосередньо, використовуючи загальну формулу (8.48).) Вирішуючи це рівняння звичайними методами, отримуємо
де функції змінної у, яка визначається корінням дотримуюся ного квадратного рівняння:
(Це квадратне рівняння утворюється автоматично при вирішенні одного з характеристичних рівнянь.)
Вираз (8.64) досить компактно, хоча і складно, і з нього виводяться деякі цікаві властивості. Наприклад, можна отримати в явному вигляді асимптотическое розподіл сумарної чисельності популяції, для чого потрібно просто обчислити. маємо
де - ймовірність того, що загальне число особин, коли-небудь жили в популяції, так само.