Тобто замість множення шести однакових множників 5х5х5х5х5х5 пишуть 5 6 і кажуть «п'ять в шостого ступеня».
Вираз 5 6 - це ступенем числа, де:
5 - підстава ступеня;
6 - показник ступеня.
Дії, за допомогою яких твір рівних множників згортають в ступінь, називають зведенням до степеня.
У загальному вигляді ступінь з основою "a" і показником "n" записується так
Звести число a до степеня n - значить знайти твір n множників, кожний з яких дорівнює а
Якщо основа ступеня «а» дорівнює 1, то значення ступеня при будь-якому натуральному n дорівнюватиме 1. Наприклад, 1 +5 = 1, 1 256 = 1
Якщо звести число «а» звести в першу ступінь. то отримаємо саме число a: a 1 = a
Якщо звести будь-яке число в нульовий ступінь. то в результаті обчислень отримаємо один. a 0 = 1
Особливими вважають другу і третю ступінь числа. Для них придумали назви: другий ступінь називають квадратом числа. третю - кубом цього числа.
В ступінь можна зводити будь-яке число - позитивне, негативне або нуль. При цьому не користуються такими правилами:
-при знаходженні ступеня позитивного числа виходить позитивне число.
-при обчисленнях нуля в натуральній ступеня отримуємо нуль.
- при обчисленні ступеня негативного числа в результаті може вийти як позитивне число, так і негативне число. Це залежить від того парним або непарним числом був показник ступеня.
Якщо вирішити кілька прикладів на обчислення ступеня негативних чисел, то вийде, що якщо ми обчислюємо непарну ступінь негативного числа, то в результаті буде число зі знаком мінус. Так як при множенні непарного кількість негативних сомножителей отримуємо від'ємне значення.
Якщо ж ми розраховуємо парну ступінь для негативного числа, то в результаті буде позитивне число. Так як при множенні парного кількості негативних сомножителей отримуємо позитивне значення.
Властивості степеня з натуральним показником.
Щоб помножити ступеня з однаковими підставами ми підстави не змінюємо, а показники ступенів складаємо:
наприклад: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+ (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8
Щоб розділити ступеня з однаковими підставами підставу не змінюємо, а показники ступенів віднімаємо:
наприклад: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6
При розрахунках зведення ступеня в ступінь підставу не змінюємо, а показники ступенів множимо один на одного.
наприклад: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6
Якщо необхідно розрахувати зведення в ступінь твори, то в цей ступінь зводиться кожен множник
наприклад: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,
При виконанні розрахунків по зведенню в ступінь дробу ми в даний ступінь зводимо чисельник і знаменник дробу
наприклад: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.
Послідовність виконання розрахунків при роботі з виразами містять ступінь.
При виконанні розрахунків виразів без дужок, але містять ступеня, в першу чергу виробляють зведення в ступінь, потім дії множення і ділення, і лише потім операції додавання і віднімання.
Якщо необхідно обчислити вираз містять дужки, то спочатку в зазначеному вище порядку робимо обчислення в дужках, а потім решту кроків в тому ж порядку зліва направо.
Дуже широко в практичних обчисленнях для спрощення розрахунків використовують готові таблиці ступенів.