Основні поняття і визначення
Криві лінії широко примі-ються в архітектурі і будівництві. По кривих лініях окреслюються раз-особисті просторові форми - арки, склепіння і т. П. Криві лінії при-змінюються для освіти поверхно-стей різних архітектурних об'єктивним тов і конструкцій будівель - покриттів у вигляді оболонок, склепінь і куполів, пан-дусов і гвинтових сходів. В процесі архітектурного проектування кри-ші лінії як елемент різноманітних криволінійних форм зустрічаються до-вільно часто. Криві лінії можуть бути результатом перетину поверхонь, вони можуть бути крайовими конт-рами відсіків поверхонь - Оболо-чек або видимими і нарисових конт-рами поверхонь і т. Д.
Криві лінії в нарисної геометрії розглядаються як-безперервна сукупність послідовно-них положень рухається точ-ки, а також як лінія перетину по-поверхонь. Якщо всі крапки кривої ли-нии лежать в одній площині, то така крива називається плоскою. Прикладом можуть служити окружність, еліпс, парабола. Якщо крива не лежить усіма своїми точками в площині, то вона на-ни опиняються просторової, напри-заходів гвинтові лінії. Криві лінії підрозділяються і по іншим призна-кам. Крива може бути описана (заду-ну) аналітично, т. Е. Рівнянням (ал-гебраіческім або трансцендентним), наприклад еліпс, парабола і ін. Якщо освіту кривої не має суворої закономірності, то вона задається графи-но, наприклад горизонталі на плані місцевості.
Ступінь рівняння, яке ви-жает алгебраїчну криву, визна-ляет порядок кривої. Геометрично порядок плоскої кривої визначається числом точок її перетину прямою лінією (як дійсних, так і мні-мих точок). Порядок просторової кривої визначається числом точок пе-ресеченія кривої з площиною.
У нарисної геометрії кри-ші лінії вивчаються по їх проекція.
Властивості проекцій кривої: I) в об-щем випадку проекції кривої лінії яв-ляють також кривими лініями; 2) ес-ли точка належить кривій лінії, то її проекції належать одноімен-ним проекція цієї кривої; 3) дотична до кривої лінії проектується в дотичну до проекції цієї кривої, якщо напрям проектування не паралельно дотичній.
Найбільш поширеними є плоскі криві лінії. Для дослідження локальних властивостей пло-ської кривої будують в деякій точці дотичну і нормаль.
Дотичній до плоскої кривої в деякій її точці називається пре-ділове положення січної, коли дві спільні з кривою точки перетину, прагнучи один до одного, співпадуть (рис. 70, а). Каса-кові визначає напрямок дві-вання точки по кривій.
Нормаллю називається пряма, ле-жащая в площині кривої і перпенд-кулярной дотичної в точці її каса-ня.
При вирішенні деяких завдань при-ходиться проводити дотичну до кри-вої. На рис. 70, б наводиться прийом побудови дотичної до кривої з точки, заданої поза кривої за допомогою «кривої помилок». Застосування цього прийому засноване на тому положенні, що в шуканої або заданій точці торкання М довжина хорди кривої дорівнює нулю. Потрібно провести через точку А каса тільну t до кривої випадкового виду. Для цього проведемо через точку А пучок прямих, які перетинають криву. Полу-ченние хорди ділять навпіл. Плавне крива, проведена через середні точ-ки ( «крива помилок»), в перетині з заданої кривої визначить шукану точку дотику М.
Властивості точок кривої. Точка кри-вої, в якій можна провести единст-судинну дотичну, називається голод-кою. Крива, що складається тільки з одних гладких точок, називається гладкою кривою. Точка кривої називається обик-Новен, якщо при русі точки по кривій напрямок її руху і напрям повороту дотичній не через змінюються. Точки, що не відповідають цим вимогам, називаються особливими.
На рис. 71 зображені особливі точки кривої: точка перегину А - касатель-ва перетинає криву; точка повернення першого роду В; точка повернення друго- го роду С; точка ізломаD - крива в цій точці має дві дотичні.
Поняття про кривизну плоскої кривої. При дослідженні властивостей кривої іног-да необхідно знати кривизну в її від-ділових точках. Напрямок кривої змінюється від точки до точки. Чим різкіше змінюється напрямок кривої, тим більше її кривизна. На рис. 70, а кривизна в точці А більше кривизни в точці А1. Так, наприклад, кривизна пря-мій лінії в усіх її точках дорівнює ну-лю, а кривизна кола для всіх її точок величина постійна. Кривизна інших кривих в кожній точці различ-на. Вона визначається за допомогою ок-ружності, дотичної в цій точці.
Дотичної окружністю називається граничне положення кола, коли вона проходить через дану точку і дві інші нескінченно близькі до неї точки. Центр і радіус дотичної кола визна-ляють центр і радіус кривизни досліджуваних-емой кривої в даній її точці.
Кривизною (К) плоскої кривої в даній точці називається величина, зворотна радіусу дотичної кола (К = 1 / r). В розглядає-мій точці крива і дотична окружність мають загальні дотичну і нормаль. На рис. 72 показано побудувати-ение центру і радіусу кривизни кривої лінії ВС в заданій точці А. На кривої по обидві сторони від даної точки позначають кілька точок і проводять з них і з точки А полукасательние. На підлозі дотичних відкладають про-довільно, але рівні відрізки і через отримані точки проводять криву лі-нію. Точці А заданої кривої відпо-ствует точка А1 .. побудованої кривої. У перетині нормалей, проведених в точках А і А1., Отримаємо точку О центр кривизни і величину радіуса кривизни rA в точці А (центр і радіус дотичної кола).
Проекції плоских кривих. Важливе прикладне значення мають деякі криві другого порядку - еліпс, па-рабола, гіпербола.
Еліпс (замкнута крива з двома осями симетрії і центром) представ-ляет собою геометричне місце точок, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок (фокусів) є величина постійна (рис. 73. а). Ел-ЛИПС можна побудувати по точках виходячи з його визначення. З точки З радіу-сом а проводять дугу, яка перетнула-ет велику вісь еліпса в точках F1 і F2 - фокусах. Потім з фокусів проводять дуги кіл радіусами r і 2а -r. Точки перетину дуг належать кривої еліпса.
Парабола (незамкнута крива з од-ної віссю симетрії) являє со-бій геометричне місце точок, так само-віддалених від заданої точки (фокуса) і прямий (рис. 73, б). Параболу можна побудувати по точках виходячи з її визна-ділення, якщо задані фокус F і пряма ON - директриса. Вершина А парабени-ли ділить навпіл відстань між фокусом і директоркою.
Гіпербола (крива, що складається з двох гілок, з двома осями симетрії і центром) являє собою геомет-річеская місце точок, різниця рассто-яний від яких до двох даних точок (фокусів) є величина постійна (рис. 73, в). Дві прямі лінії, проходячи-щие через центр О і стосуються гіперболи в нескінченно віддалених точках, називають асимптотами гіперболи. Асимптоти спрямовані по діагоналях прямокутника зі сторонами 2а і 2b. Гіперболу, як і параболу, можна по-будувати по точкам.
Окружність - сама поширеною-ненная крива, при паралельному про-ецірованіі вона перетворюється в еліпс (рис. 74). Описаний навколо кола-сти квадрат проектується в паралел-лограмм, а окружність - в еліпс, так як хорди еліпса, паралельні од-ному з сполучених діаметрів (ab), діляться іншим діаметром (cd) попо-лам. Сторони паралелограма є-ються дотичними до еліпса в кінцях сполучених діаметрів.
Побудова еліпса крім спосо-ба, показаного на рис. 73, а, досить часто виконують по восьми точках (рис. 75): чотири точки (1, 2, 3, 4) - кінці пов'язаних діаметрів і чотири точки (5, 6, 7, 8) - перетину кри-вої еліпса з діагоналями параллелог-рама. Ці точки визначають дотримуюся-щим чином. На будь-який напівсторін паралелограма будують равнобед-ренний прямокутний трикутник.
Радіусом, рівним катету трикутник-ка, засікає точки a і b на заданій стороні паралелограма, а потім про-водять прямі, паралельні іншим його сторонам, до перетину з Діагон-лями паралелограма.
При побудові еліпсів, як па-паралельно, так і центральної проек-цій окружності, буває важливо визна-лити велику і малу осі еліпса, які є осями симетрії фігури і дають можливість перевірити точність графічних побудов. На рис. 76 зазначений спосіб побудови осей еліпса по заданих його зв'язаним діаметрами 1 - 2 і 3 - 4. Один з напів-діаметрів, наприклад О - 1. повернемо до положення, перпендикулярного це-му діаметру. Через точки 10 і 4 прово-дим пряму і з середини відрізка 10 - 4 описуємо дугу радіусом OS. Пряма 10 - 4 перетинає дугу окружності в точках Е і F (відрізок EF визначає суму піввісь еліпса). Прямі OЕ і OF вказують напрямок малої CD і великий АВ осей еліпса.
Області застосування кривих. Регу-лярні плоскі криві, такі, як ок-ружность і її дуги, еліпс, парабола, досить широко застосовуються в архі-тектури. Ще одна плоска крива, по-будова якої іноді доводиться виконувати при проектуванні повер-хность висячих (вантових) покриттів-оболонок - ланцюгова лінія.
Ланцюгова лінія - це крива, форму якої приймає під дією сили тяжіння однорідна гнучка нерастяжі-травня нитка з закріпленими кінцями. Для побудови кривої (рис. 77) задаються початкової окружністю з цент-ром у точці С і деякою точкою М1. Чим більше СМ1, тим положе крива.
Величину провисання ланцюгової лінії можна виразити також співвідношенням діаметру початкової ок-ружності d до стріли провисання h. Чим співвідношення d / h більше, тим стріла провисання менше. Горизонтальну пряму ОМ1 ділять на деяке число однакових відрізків. На прямій, сої-диня центр З з точкою М1, на рас-стоянні d від точки М1 оживимо пер-пендікуляр. Точка М перетину пров-пендікуляра з вертикальної прямої є шуканої. Побудова інших точок ясно з креслення. Форма кривої нагадує параболу. У точці А, кото-раю називається вершиною кривої, каса-кові горизонтальна. Можна начи-нать побудова кривої в зворотному по-рядку, задавшись спочатку точками М, К закріплення нитки і вершиною А. Крива лінія, проведена через точки основа-ний перпендикулярів, називається трак-Тріс, або їх вабить (показана зліва від осі OY штриховий лінією ). Ланцюгова ли-ня є еволюта трактриса, т. Е. Геометричним місцем її центрів кри-визна. Ланцюгова лінія як лінія раціо-нальне, що відображає властивості рівнонапруженості матеріалу, може бути використана при проектуванні раз-особистих архітектурних форм.
На рис. 78, а показано побудова форми главки. Крива її нарису пред-ставлять собою поєднання двох кривих, що відображають різні умови ра-боти матеріалу (лінія О - 2 - вирощуючи-ються, лінія 2 - 1 - 3 - стиснення). Як і следний ділянку висловлює лінію рав-ного опору - обрис з-гнутих гнучкою рейки.
Розглянемо графічне построе-ня лінії зігнутої рейки (рис. 78, б). На прямій лінії вибирають точку О полюс і вершину А кривої. Викреслюючи-ють коло, центр якої лежить на прямій OA. На відрізку АВ проводять ряд прямих, перпендикулярних йому. З точки В проводять промені до точок перетину паралельних прямих з ок-ружностью (точки 10, 20, 30, 40), а з точки Про проводять промені, паралельні відповідним променям першого Пуч-ка, також до перетину з паралель-ними прямими. Отримаємо шукані точки 1. 2, 3, 4. Величина параметра а щодо діаметра окружності визначає ступінь вигину, якщо він зменшується - вигин збільшується.
Зодчі минулого, користуючись зігну-тій рейкою, визначали, а потім прорив-совиваются ентазіс - незначну припухлість стовбура колони.
В архітектурі і будівництві при-змінюються і так звані складові криві. На рис. 79 приведено построе-ня Коробової кривої обриси поло-гого зводу. Крива задана прольотом АВ і підйомом ОС зводу і складається з трьох дуг кіл. Точки сполучення дуг D і Е і центри дуг 1, 3 і 2 визначають наступним чином. На Діагон-ли АС будуємо різниця піввісь - від-різкий AM. Через середину цього відріз-ка проводимо пряму до перетину з осями кривої в точках 1, 2 і 3. Точки D і Е сполучення дуг - гладкі точки. Однак в цих точках радіуси крівіз-ни кривої змінюються стрибкоподібно, на-приклад, в точці D - два радіуса, рав-ні D - 1 і D - 2. Коробова крива гладка, але не плавна.
Отже, до плавною кривою повинні бути пред'явлені такі требова-ня: безперервність і існування в кожній точці однієї дотичній і од-ного радіуса кривизни.
Ще роботи з математики