У загальному випадку ця задача передбачає творчий підхід, так як не існує універсального методу її рішення. Але все ж спробуємо дати кілька наводок.
У переважній кількості випадків, розкладання многочлена на множники засноване на слідстві з теореми Безу, тобто знаходиться або підбирається корінь і знижується ступінь многочлена на одиницю розподілом на. У отриманого многочлена шукається корінь і процес повторюється до повного розкладання.
Якщо ж корінь знайти не вдається, то використовуються спеціальні методи розкладання: від угруповання, до введення додаткових взаємовиключних доданків.
Подальший виклад базується на навичках рішення рівнянь вищих ступенів з цілими коефіцієнтами.
Винесення за дужки загального множника.
Почнемо з найпростішого випадку, коли вільний член дорівнює нулю, тобто многочлен має вигляд.
Очевидно, що коренем такого многочлена є, то є многочлен представимо у вигляді.
Цей спосіб є ні що інше як винесення спільного множника за дужки.
Розкласти многочлен третього ступеня на множники.
Очевидно, що є коренем многочлена, тобто х можна винести за дужки:
Знайдемо коріння квадратного тричлена
На початок сторінки
Розкладання на множники многочлена з раціональними коренями.
Спочатку розглянемо спосіб розкладання многочлена з цілими коефіцієнтами виду, коефіцієнт при старшій ступеня дорівнює одиниці.
В цьому випадку, якщо многочлен має цілі корені, то вони є дільниками вільного члена.
Розкласти на множники вираз.
Перевіримо, чи є цілі коріння. Для цього виписуємо подільники числа -18. . Тобто, якщо многочлен має цілі корені, то вони знаходяться серед виписаних чисел. Послідовно перевіримо ці числа за схемою Горнера. Її зручність ще і в тому, що в результаті отримаємо і коефіцієнти розкладання многочлена:
Тобто, х = 2 і х = -3 є коріннями вихідного многочлена і він представимо у вигляді добутку:
Залишилося розкласти квадратний тричлен.
Дискримінант цього трехчлена негативний, отже, він не має дійсних коренів.
.
замість схеми Горнера можна було скористатися підбором кореня і подальшим поділом многочлена на многочлен.
Тепер розглянемо розкладання многочлена з цілими коефіцієнтами виду, причому коефіцієнт при старшій ступені не дорівнює одиниці.
В цьому випадку многочлен може мати дрібно раціональні коріння.
Розкласти на множники вираз.
Виконавши заміну змінної y = 2x. перейдемо до многочлену з коефіцієнтом рівним одиниці при старшого ступеня. Для цього спочатку домножимо вираз на 4.
Якщо отримана функція має цілі корені, то вони знаходяться серед дільників вільного члена. Запишемо їх:
Обчислимо послідовно значення функції g (y) в цих точках до отримання нуля.
Тобто, y = -5 є коренем, отже, є коренем вихідної функції. Проведемо ділення стовпчиком (куточком) многочлена на двочлен.
Перевірку залишилися подільників продовжувати недоцільно, так як простіше розкласти на множники отриманий квадратний тричлен
Незведені многочленів. Теорема про розклад многочлена у добуток незведеніх. Канонічній розклад многочлена.