Короткий опис документа:
Формули скороченого множення - це дуже зручний інструмент для операцій з многочленами. Як правило, це дозволяє скоротити складні конструкції полиномов до невеликого вираження, яку представляють Двочленні. Або ж, в іншому порядку - з твору двох многочленів легко виводиться компактний біном.
Такі дії бувають необхідними при вирішенні тривіальних рівнянь і нерівностей, а також при різних доказових завданнях.
Цей вислів порівняно легко перетворити, підставивши замість х 4 і у 4 ідентичні квадратні вираження (х 2) 2 і (у 2) 2:
х 4 - у 4 = (х 2) 2 - (у 2) 2
У підсумку ми отримуємо різницю квадратів, яку можна уявити за допомогою елементарної ФСУ як:
(Х 2) 2 - (у 2) 2 = (х 2 + у 2) (х 2 - у 2)
З іншого боку, другі дужки отриманого виразу містять різницю квадратів, яку можна легко перетворити:
(Х 2 + у 2) (х 2 - у 2) = (х 2 + у 2) ((х + у) (х - у))
Звідси слідує що:
х 4 - у 4 = (х 2 + у 2) (х + у) (х - у)
Залишимо основну загальну частину (х - у), інші два вирази в дужках перемножимо:
х 4 - у 4 = (х 2 + у 2) (х + у) (ху) = (ху) (х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)
Для чого необхідно виділяти (х - у), буде показано пізніше. Отже, ми знайшли ще одну формулу для різниці статечних виразів. Це рівність досить складно для вираження - однак варто розуміти, що воно цілком логічно вписується в ряд подібних формул для визначення різниці квадратів і кубів. Порівняємо ці формули між собою, для того, що б знайти загальні закономірності:
х 2 - у 2 = (х - у) (х + у)
х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + 2ху + у 2)
х 4 - у 4 = (ху) (х 3 + х 2 у + ху 2 + у 3)
Для виведення загальної формули, яка допоможе перетворити на витвір полиномов різниця змінних з будь-яким ступенем, важливо зрозуміти загальні тенденції в равенствах початкового порядку. Зауважимо, що другий многочлен в нашому творі є сумою попарних творів двох виразів. Причому ступеня змінних знаходяться в зворотного зв'язку. Щоб було легше зрозуміти ці закономірності, перепишемо рівність для різниці виразів четвертого ступеня таким чином:
х 4 - у 4 = (х - у) (х 3 у 0 + х 2 у 1 + х 1 у 2 + х 0 у 3)
Будь-яке число в нульовому ступені обов'язково дорівнює одиниці. Тому до будь-якої реальної змінної можна сміливо дописувати конструкцію з нульовим ступенем. Пам'ятаємо так само, що будь-яка змінна має ступінь - якщо не вказано, то дорівнює одиниці. Ці правила поводження зі ступенями і дозволили представити рівність в більш зрозумілому вигляді.
Звернемо увагу, що кількість членів в многочлене друге дужок одно основний ступеня (яку мають змінні в різниці). По ряду многочлена, ступінь одного виразу алгебраїчно убуває, а ступінь другого - прибуває. При цьому крайніми точками для ступенів є 0 і старша ступінь початкової різниці виразів.
Користуючись цими міркуваннями, виведемо формулу для знаходження різниці виразів п'ятого ступеня:
х 5 - у 5 = (х - у) (х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4)
Для початку, ми прописуємо перший множник (х - у) без змін. Другий же многочлен буде представляти суму п'яти елементів (по старшій ступеня). Елементи, в свою чергу, утворені твором змінних з алгебри, зворотним і взаємопов'язаним зміною ступенів. У многочлене:
х 4 у 0 + х 3 у 1 + х 2 у 2 + х 1 у 3 + х 0 у 4
х знижує ступінь з 4 до 0, у підвищує з 0 до 4. Для самоперевірки корисно знати, що сума ступенів будь-якого одночлена, в даному випадку, буде дорівнює все тієї ж старшого ступеня - 5.
Залишається лише коректно записати формулу, позбувшись від нульових ступенів:
х 5 - у 5 = (ху) (х 4 + х 3 у + х 2 у 2 + ху 3 + у 4)
В загальному плані, для будь-якого ступеня n вірно рівність:
(Х) n - (у) n = (х - у) ((х) n + (х) n-1 у ... + х (у) n - 1 + у n)
Універсальна формула для знаходження суми двох виразів з n-ної різницею виводиться через перетворення виду:
х n + у n = х n - (-у n)
Користуючись формулою для різниці виразів, отриманої вище, виводимо рівність:
х n + у n = х n - (-у n) = (х + у) ((х) n-1 - (х) n-2 у ... - х (у) n - 2 + у n-1)
В силу того, що квадрат будь-якого виразу ліквідує його негативність, не можна доступними засобами уявити суму квадратів (або будь-яких парних ступенів) змінних як твір двох многочленів.