Приклад. Розглянемо модель залежності загальної величини витрат на харчування від наявного особистого доходу (х) і ціни продуктів харчування (р): у = а0 + а1 х + а 2 р + ε. Визначимо клас моделі і вид змінних моделі: регресійна модель з одним рівнянням; ендогенна змінна - витрати на харчування, екзогенні змінні - наявний особистий дохід і ціна продуктів харчування.
Принципові складності застосування систем економетричних рівнянь пов'язані з помилками специфікації моделі.
Система рівнянь в економетричних дослідженнях може бути побудована по-різному. Виділяють наступні 3 види систем рівнянь.- Система незалежних рівнянь. коли кожна залежна змінна (y) розглядається як функція тільки від визначених змінних (х):
- Система рекурсивних рівнянь. коли в кожному наступному рівнянні системи залежна змінна представляє функцію від залежних і зумовлених змінних попередніх рівнянь:
У розглянутих 2-ух видах систем кожне рівняння може розглядатися самостійно, і його параметри можна визначити за допомогою методу найменших квадратів (МНК). - Система взаємозалежних (спільних, одночасних) рівнянь. коли залежні змінні в одних рівняннях входять в ліву частину (тобто виступають в ролі ознак-результатів), а в інших рівняннях - в праву частину системи (тобто виступають в ролі ознак-факторів) одночасно:
У правій частині структурної форми взаємозалежної системи можуть стояти ендогенні змінні.
Назва «система одночасних рівнянь» підкреслює той факт, що в системі одні й ті ж змінні одночасно розглядаються як залежні в одних рівняннях і як незалежні в інших. Система одночасних рівнянь відрізняється від інших видів економетричних систем тим, що в ній одні і ті ж ендогенні змінні системи в одних рівняннях знаходяться в лівій частині, а в інших рівняннях - в правій частині.
На відміну від попередніх систем кожне рівняння системи одночасних рівнянь не може розглядатися самостійно, і для знаходження його параметрів традиційний МНК непридатний, тому що порушуються передумови, що лежать в основі МНК. В результаті оцінки параметрів виходять зміщеними.
У економетрики ця система рівнянь також називається структурною формою моделі.
Деякі з рівнянь системи можуть бути представлені у вигляді тотожностей, тобто параметри цих рівнянь є константами.
Від структурної форми легко перейти до так званої наведеної формі моделі. Число рівнянь в наведеній формі дорівнює числу ендогенних змінних моделі. У кожному рівнянні наведеної форми ендогенна змінна виражається через все зумовлені змінні моделі:
Так як права частина кожного з рівнянь приведеної форми містить тільки існуючі змінні і залишки, а ліва частина тільки одну з ендогенних змінних, то така система є системою незалежних рівнянь. Тому параметри кожного з рівнянь системи в наведеній формі можна визначити незалежно звичайним МНК.
Знаючи оцінки цих наведених коефіцієнтів можна визначити параметри структурної форми моделі. Але не завжди, а лише тоді, коли модель є ідентифікованої.
проблема ідентифікації
Модель вважається точно ідентифікованої, якщо всі її рівняння точно ідентифіковані.
Якщо серед рівнянь моделі є хоча б одне сверхідентіфіцірованное рівняння, то вся модель вважається сверхідентіфіцірованной.
Якщо серед усіх рівнянь моделі є хоча б одне неідентифікована, то вся модель вважається неідентифікованою.
Рівняння називається точно ідентифікованим, якщо оцінки структурних параметрів можна однозначно (єдиним способом) знайти за коефіцієнтами наведеної моделі.
Рівняння сверхідентіфіціровано, якщо для деяких структурних параметрів можна отримати більш одного чисельного значення.
Рівняння називається неідентифікованим, якщо оцінки його структурних параметрів неможливо знайти за коефіцієнтами наведеної моделі.
Кількість структурних і наведених коефіцієнтів однаково в моделі ідентифікованої.
Правила ідентифікації
Правила ідентифікації - необхідна і достатня умови ідентифікації (застосовуються тільки до структурної формі моделі). Оцінка точно ідентифікованого рівняння здійснюється за допомогою непрямого методу найменших квадратів (КМНК). Алгоритм двокрокового МНК включає наступні кроки: Іншими словами правильна послідовність кроків алгоритму застосування двокрокового МНК включає: Розглянемо приклад. Рішення: Ранг даної матриці дорівнює 1, що менше К -1 = 2, отже, 1-е рівняння моделі неідентифікованих. Зробимо висновки. 1-е і 3-е рівняння системи неідентіфіцірованни (тому що не виконуються достатні умови ідентифікації, а в разі 1-ого рівняння і необхідна умова також). 2-е рівняння системи сверхідентіфіцірованно. Отже, система в цілому є неідентифіковані.
Введемо наступні позначення:
M - число зумовлених змінних в моделі;
m - число зумовлених змінних в даному рівнянні;
K - число ендогенних змінних в моделі;
k - число ендогенних змінних в даному рівнянні.
Необхідна (але недостатня) умова ідентифікації рівняння моделі:
Для того щоб рівняння моделі було ідентифікованих, необхідно, щоб число зумовлених змінних, що не входять в рівняння, було не менше «числа ендогенних змінних, що входять в рівняння мінус 1», тобто M-m> = k -1;
Якщо M-m = k- 1. рівняння точно ідентифіковано.
Якщо M-m> k -1, рівняння сверхідентіфіцірованно.
Ці правила слід застосовувати в структурній формі моделі.
Достатня умова ідентифікації рівняння моделі.
Введемо позначення: А - матриця коефіцієнтів при змінних не входять в дане рівняння.
Достатня умова ідентифікації полягає в тому, що ранг матриці А має дорівнювати (К-1). Ранг матриці - розмір найбільшою її квадратної подматріци, визначник якої не дорівнює нулю.
Сформулюємо необхідна і достатня умови ідентифікації рівняння моделі:
1) Якщо M-m> k -1 і ранг матриці А дорівнює К -1, то рівняння сверхідентіфіцірованно.
2) Якщо M-m = k -1 і ранг матриці А дорівнює К -1, то рівняння точно ідентифіковано.
3) Якщо M-m> = k -1 і ранг матриці А менше К -1, то рівняння неідентифікованих.
4) Якщо M-m
Алгоритм КМНК включає 3 етапи:
1) складання наведеної форми моделі і вираз кожного коефіцієнта наведеної форми через структурні параметри;
2) застосування звичайного МНК до кожного рівняння наведеної форми і отримання чисельних оцінок наведених параметрів;
3) визначення оцінок параметрів структурної форми за оцінками наведених коефіцієнтів, використовуючи співвідношення, знайдені на кроці 1.
Оцінка сверхідентіфіцірованного рівняння здійснюється за допомогою двокрокового методу найменших квадратів.Алгоритм двокрокового МНК
1) складання наведеної форми моделі;
2) застосування звичайного МНК до кожного рівняння наведеної форми і отримання чисельних оцінок наведених параметрів;
3) визначення розрахункових значень ендогенних змінних, які фігурують в якості факторів в структурній формі моделі;
4) визначення структурних параметрів кожного рівняння окремо звичайним МНК, використовуючи в якості факторів входять в це рівняння зумовлені змінні і розрахункові значення ендогенних змінних, отримані на кроці 1.
I. Перетворення структурної форми моделі в наведену.
II. Процес оцінки параметрів наведеної форми за допомогою МНК.
III. Отримання за відповідними наведеним рівнянням теоретичних значень ендогенних змінних правій частині сверхідентіфіціруемого рівняння моделі.
IV. Процес оцінки параметрів сверхідентіфіціруемого рівняння моделі через теоретичні значення ендогенних і фактичні значення зумовлених змінних;
Нехай є система:
Потрібно скласти наведену форму моделі, перевірити кожне рівняння структурної моделі на ідентифікацію, і запропонувати спосіб оцінки параметрів структурної форми моделі.
У цій системі y1. y 2, y 3 - ендогенні змінні (K = 3);
x1. x 2. x3 - зумовлені змінні (M = 3).
K-1 = 2; K + M = 6.
Складемо наведену форму моделі:
Перевіримо, як виконується необхідна умова ідентифікації для кожного рівняння.
Для 1-ого рівняння маємо: k1 = 3; m1 = 2;
M-m1 = 1
M-m2 = 2> k2 -1 = 1, отже, 2-е рівняння сверхідентіфіцірованно.
Для 3-го рівняння маємо: k3 = 2; m3 = 2;
M-m3 = 1 = k 3-1 = 1, отже, 3-е рівняння точно ідентифіковано.
Розглянемо, як виконується достатня умова ідентифікації для кожного рівняння системи. Для того, щоб воно виконувалося необхідно, щоб визначник матриці А (матриці коефіцієнтів при змінних, що не входять в це рівняння) дорівнював До 1 = 2.
Складемо матрицю А для 1-ого рівняння системи. У 1-му рівнянні відсутній лише одна змінна системи х3. Тому матриця А буде мати вигляд:
х3
0 - у 2-му рівнянні
a33 - в 3-му рівнянні
Складемо матрицю А для 2-ої рівняння системи. У 2-му рівнянні відсутні змінні y3. x2. х3.
y3 x 2 x3
b13a13 0 - в 1-му рівнянні
1 a32a33 - в 3-му рівнянні
Ранг даної матриці дорівнює 2, що дорівнює К-1 = 2, отже, 2-е рівняння моделі точно ідентифіковано.
Складемо матрицю А для 3-го рівняння системи. У 3-му рівнянні відсутні змінні y1. x2.
y 1 x 2
1 a12 - в 1-му рівнянні
b21 0 - у 2-му рівнянні
Ранг даної матриці дорівнює 1, що менше К -1 = 2, отже, 3-е рівняння моделі неідентифікованих.
Для оцінки параметрів 2-ої рівняння можна застосувати двохкроковий МНК. Параметри 1-ого та 3-ого рівнянь визначити за коефіцієнтами приведеної форми не можна. Тому модель повинна бути модифікована.Схожі статті