Взаємозв'язок маси і енергії спокою
Маса тіла і його енергія спокою пов'язані співвідношенням
з якого випливає, що всяка зміна маси тіла # 916; m супроводжується зміною енергії спокою # 916; Ео. причому ці зміни пропорційні один одному;
Це твердження носить назву закону взаємозв'язку маси і енергії спокою (іноді для
стислості кажуть просто про енергію).
Взаємозв'язок m і Ео призводить до того, що сумарна маса взаємодіючих частинок не зберігається
Переконаємося в цьому на наступному прикладі. Нехай дві однакові частки маси m, що рухаються з рівними по модулю і протилежно спрямованими швидкостями, зазнають абсолютно непружні зіткнення, в результаті якого утворюється нова нерухома частка. До зіткнення повна енергія кожної частки дорівнює
Повна енергія утворилася частки дорівнює Мс 2. де М - маса нової частинки. Із закону збереження енергії cледует, що звідки
Таким чином. маса утворилася частки
більше суми мас вихідних частинок. Це обумовлено тим, що кінетична енергія частинок перетворилася в еквівалентну кількість енергії спокою, а це в свою чергу призвело до зростання маси на
При розпаді нерухомою частки на кілька розлітаються в різні боки частинок спостерігається зворотне явище - сума мас часток, що утворилися виявляється менше маси вихідної частинки на величину, рівну сумарній кінетичної енергії цих частинок, поділеній на з 2.
В основі роботи атомних електростанцій лежить ланцюгова реакція поділу ядер урану. Сумарна маса утворилися при розподілі осколків (ядер більш легких атомів) менше маси ядра урану. Тому процес поділу супроводжується зменшенням енергії спокою частинок. Різниця енергій спокою перетворюється в кінетичну енергію уламків і в енергію виникає при розподілі електромагнітного
Розглянемо тіло, що складається з N частинок з масами m1. m2. mN. Тіло не буде розпадатися на що утворюють його частки за умови, що вони пов'язані один з одним. Цей зв'язок можна охарактеризувати енергією Eсв. яку потрібно затратити, щоб розірвати зв'язок між частинками і рознести їх на такі відстані, при яких взаємодією часток один з одним можна знехтувати. Енергію Есв називають енергією зв'язку системи частинок.
де М - маса системи (маса тіла). '
З формули E2.3) слід, що енергія зв'язку буде позитивною в тому випадку, коли маса тіла М менше суми мас утворюють тіло частинок.
При злитті часток вивільняється енергія Есв '(наприклад, у вигляді електромагнітного випромінювання). Щоб розділити тіло на частки, з яких воно складається, потрібно затратити енергію Есв.
Прикладом може служити атомне ядро. Так, ядро урану-238 має масу М = 395,2-10
27 кг. Воно складається з 92 протонів з масою mp = 1,6727-10
27 кг і 146 нейтронів з масою mn = 1,6750-10 27 кг. Підстановка значень мас в формулу дає для енергії зв'язку протонів і нейтронів в ядрі урану-238 значення
6.Показать, що (Е 2 -р 2 з 2) є інваріантом.
З двох можливих в ньютонівської механіці
формулювань другого закону Ньютона в релятивістській механіці справедлива тільки перша з них:
Підставивши вираз для р, прийдемо до основ-
ному рівняння релятивістської динаміки матеріальної точки:
Зі сказаного ясно, що в релятивістському випадку
маса втрачає сенс коефіцієнта пропорційності між прискоренням і силою.
На відміну від ньютонівської механіки сила F в релятивістській механіці не є інваріантної
(В різних інерційних системах відліку вона має різні модулі та напрямки). Крім того, прискорення а й сила F виявляються неколінеарна (напрямок прискорення, як правило, не збігається з напрямком сили).
Щоб отримати релятивістське вираз для
кінетичної енергії, будемо виходити з того, що
робота, здійснена над тілом, дорівнює приросту
його кінетичної енергії:
Помножимо праву частину рівності E на переміщення частинки ds, а ліву частину - на рівне ds твір vdt (ds = vdt). В результаті отримаємо співвідношення
Справа стоїть елементарна робота dA. слідчий-
але, ліва частина рівності є пріра-
щення кінетичної енергії частинки;
Перетворимо цей вираз, скориставшись правилом диференціювання твори функції
Наведемо отримане вираз до спільного прапори-
телю і врахуємо, що v 2 = v 2. a vdv = vdv В результаті отримаємо
Легко перевірити диференціюванням, що
Функції, диференціали яких рівні між собою, можуть відрізнятися тільки на постійну величину. Тому
Кінетична енергія повинна звертатися в нуль
разом зі швидкістю частинки v. Звідси слідує що
константа повинна бути дорівнює -mс 2 і відповідно
Розкладемо вираження в ряд зі ступенями # 965; / с
При (# 965; / с)<˂ 1 остальными членами ряда можно пре-
знехтувати. В результаті вийде ньютонівської Вира
ються для кінетичної енергії: Ек = mv 2/2. це
узгоджується з тим, що при швидкостях багато менших
швидкості світла формули релятивістської механіки
повинні переходити до відповідних формули ньютонівської механіки.
Ми вже відзначали, що закони збереження повинні
бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Як показує досвід, зокрема величезний експериментальний матеріал, накопичений у фізиці елементарних частинок, закон збереження енергії виявляється інваріантним тільки в тому випадку, якщо вільної (т. Е. Підданого дії сил) частці приписувати, крім кінетичної енергії, додаткову енергію, рівну mс 2. Таким чином, вільна частинка має енергію
яку називають повною енергією.
Нерухома частка має енергію яка називається енергією спокою. Вона являє собою внутрішню енергію частинки. У разі складного тіла енергія спокою включає в себе, крім енергій спокою утворюють тіло частинок, також кінетичну енергію частинок (обумовлену їх рухом відносно центру мас тіла) і енергію їх взаємодії один з одним. У енергію спокою, як і в повну енергію, не входить потенційна енергія тіла в зовнішньому силовому полі (Термін «повна енергія» має в релятивістській механіці інший зміст, ніж в ньютонівської механіці. У ньютонівської механіці повною енергією називається сума кінетичної і потенційної енергій частки. У релятивістській механіці під повною енергією мається на увазі сума кінетичної енергії та енергії спокою частинки.)
Імпульс і повна енергія частинки пов'язані співвідношенням
Знайдемо вираз для повної енергії через імпульс частинки. Для цього виключимо з виразу
для модуля імпульсу
і вирази для повної енергії швидкість v. В результаті отримаємо
З цієї рівності випливає, що
Швидкість з і маса m є інваріантами. Отже, і вираз Е2 / с2 - р2 п'редставляет cобой інваріант, т. Е, має однакове числове значення у всіх інерційних системах відліку. При переході від однієї системи відліку до іншої повна енергія і імпульс змінюються, однак числове значення залишається одним і тим же.