У ряді випадків бувають відомі варіанти (х) і твір варіанти на частоту (х * f), в той час як самі частоти невідомі. У цих випадках застосовується середня гармонійна. яка буває зваженою і простий.
1. Середня гармонійна зважена:
- середня арифметична зважена.
Приклад: визначити середню заробітну плату працівників по 3 корпусам пансіонату.
Таблиця 4.6 - Фонд оплати праці по корпусам пансіонату
2. Середня гармонійна проста
Якщо твір f * x = M дорівнює 1, то для розрахунку середньої величини застосовується середня гармонійна проста.
Приклад. в бригаді працює 3 людини, які надають одні й ті ж послуги
Таблиця 4.7 - Вироблення співробітників в бригаді
Витрати часу на 1 послугу, ч, (х)
Мода інтервального ряду визначається за такою формулою:
де: х0 - нижня межа модального інтервалу;
i - величина модального інтервалу;
fm0 - частота модального інтервалу;
fm0-1 - частота інтервалу, що передує модальному;
fm0 + 1 - частота інтервалу, наступного за модальним.
Модальний інтервал - це інтервал, що має найбільшу частоту.
Приклад. визначити моду наступного ряду розподілу:
Стаж роботи, років (x)
Число працівників (f)
Накопичені частоти (cum f)
до 2 2-4 4-6 6-8 8-10 понад 10
Відповідь: найбільше число працівників має стаж роботи 6,76 років.
Медіана (Мe) - це варіанти, яка припадає на середину ряду розподілу, розташованого в порядку зростання ознак. Вона ділить ряд розподілу на 2 рівні частини.
Визначення медіани для дискретного ряду розподілу.
Медианой дискретного ряду є варіанти, що припадає на полусумму накопичених частот:
У нашому прикладі розмір взуття 37 є також і медіаною, тобто половина проданої взуття менше 37-го розміру, інша половина - 37-го розміру і більше.
Для інтервального ряду Ме визначається за формулою:
де х0 - нижня межа медіанного інтервалу;
i - величина медіанного інтервалу;
- полусумма накопичених частот;
- сума накопичених частот, інтервалів, що передують медіанного;
- частота медіанного інтервалу.
Медіанний - це інтервал, на який припадає полусумма накопичених частот. У нашому прикладі «6-8 років» - медіанний інтервал.
Це означає, що половина працівників має стаж роботи менше 6,2 року, а інша половина більше.
Контрольні питання і завдання
1. У чому полягає сутність статистичної обробки методом середньої величини?
2. Перерахуйте основні положення теорії середніх величин.
3. В яких випадках застосовується середня арифметична проста? У чому її відмінність від середньої арифметичної зваженої?
4. Які властивості середніх величин Ви знаєте? Для чого вони застосовуються?
5. Назвіть види середніх статечних величин і напишіть формулу статечної середньої.
6. Яка залежність існує між статечними середніми величинами для одного ряду розподілу?
7. Чи є мода і медіана середніми величинами і чому?
8. Як визначити моду і медіану для дискретного ряду?
9. Що таке модальний і медіанний інтервали? Чи можуть вони збігатися?
5. Вивчення варіації рядів розподілу
Для кожної одиниці досліджуваної сукупності цікавий для нас ознака приймає різні значення, тобто варіює.
Варіація - це коливання ознаки в ряді розподілу.
Розглянемо 2 ряди чисел:
1) 75, 90, 78, 82, 93, 86
2) 65, 122, 84, 70, 105, 58
Різниці слід звільнити від знака для побудови показників варіації. Для цього потрібно взяти моду або парну ступінь. На цьому принципі засноване побудова основних показників варіації.