Визначення моментів інерції тіл простої форми і перевірка теореми Гюйгенса-Штейнера методом крутильних коливань
Мета роботи
Визначення моментів інерції тіл простої форми і експериментальна перевірка теореми Гюйгенса-Штейнера.
В експерименті використовується зв'язок між періодом коливань крутильного маятника і його моментом інерції. Як маятника обрана кругла платформа, підвішена в полі тяжіння на трьох довгих нитках (тріфілярний підвіс). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі. На платформу поміщаються тіла різної форми, вимірюються періоди коливань маятника і визначаються значення моментів інерції цих тіл. Теорема Гюйгенса-Штейнера перевіряється за відповідністю між експериментальної і теоретичної залежностями моментів інерції вантажів від їх відстані до центру платформи.
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Якщо момент інерції тіла відносно деякої осі обертання, що проходить через центр мас, має значення J0. то щодо будь-якої іншої осі, що знаходиться на відстані a від першої і паралельної їй, він буде дорівнює
де m-маса тіла.
Для перевірки теореми Гюйгенса-Штейнера в даній роботі досліджуються крутильні коливання твердого тіла на тріфілярном підвісі.
Тріфілярний підвіс являє собою круглу платформу радіуса R. підвішену на трьох симетрично розташованих нитках однакової довжини, укріплених у її країв (рис.6). Нагорі ці нитки також симетрично прикріплені до диска трохи меншого розміру (радіуса r). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі OO`. перпендикулярної до її площини і проходить через її центр. Такий рух платформи призводить до зміни положення її центра ваги по висоті.
Якщо платформа маси m. обертаючись в одному напрямку, піднялася на висоту h. то прирощення потенційної енергії дорівнюватиме
де g - прискорення сили тяжіння. Обертаючись в іншому напрямку, платформа прийде в стан рівноваги (h = 0) з кінетичної енергією, яка дорівнює
За формулою (2.15) можна експериментально визначити момент інерції порожньої платформи або платформи з тілом, покладеним на неї, так як всі величини в правій частині формули безпосередньо вимірюються. Слід пам'ятати, що m - це сумарна маса платформи і досліджуваного тіла, покладеного на неї.
Співвідношення (2.15) використовується в лабораторній роботі для визначення моментів інерції тіл простої форми і підтвердження справедливості теореми Гюйгенса-Штейнера.
Вид установки показаний на рис.6. або AVI (3.8M) Ставлення радіусу платформи до довжини ниток підвісу становить, що відповідає наближенням, використовуваним при виведенні формули (2.15).
Тіла на платформу необхідно класти строго симетрично, так, щоб не було перекосу платформи. Для полегшення визначення положення вантажів і більш точної їх установки на платформі нанесені концентричні кола на певній відстані один від одного (5 мм).
Обертальний імпульс, необхідний для запуску крутильних коливань, повідомляється платформі шляхом повороту верхнього диска навколо його осі. Це досягається за допомогою шнура, пов'язаного з важелем, закріпленим на верхньому диску. При такому порушенні коливань майже повністю відсутні інші типи коливань, наявність яких ускладнює вимірювання. При вимірах неприпустимо користуватися амплітудами коливань, більші, ніж 10 0.
Система вимірювання часу включає в себе електронний таймер з фотодатчиком, укріпленим на підставці. При проведенні вимірювань датчик встановлюється в зручне положення. Запуск таймера здійснюється натисканням кнопки "Пуск", зупинка - кнопкою "Стоп". При підготовці до подальших вимірах результати попередніх прибираються з табло таймера натисканням кнопки "Скидання".
Для перевірки теореми Гюйгенса-Штейнера використовують два однакових тіла (в даній роботі вони мають циліндричну форму). Перед кожним вимірюванням слід зупинити платформу.Встановити вантажі в центрі платформи, поклавши їх один на інший. Створити крутильні коливання платформи. Виміряти час tn декількох коливань (n = 15-20). Дані занести в табл. 2.1.
Таблиця 2.1
Розташувати вантажі симетрично на платформі. Провести вимірювання часу коливань tn для 5-7 положень вантажів, поступово переміщаючи їх до країв платформи. Рекомендується переміщати вантажі кожен раз на 1 см. Занести в табл.2.1 значення відстаней а від центру мас кожного тіла до центру платформи, число коливань n і значення часу цих коливань tn. Обробка результатів- Для кожного положення вантажів визначити період коливань вантажів Ti.
- Занести в таблицю значення a 2.
- Для кожного положення вантажів знайти значення моменту інерції платформи з вантажами Ji за формулою (2.15). Величини l, R, r і маса платформи даються, як постійні установки.
-
Отримані значення Ji наносять на графік залежності моменту інерції системи тіл, від квадрата відстані центру мас кожного вантажу до осі обертання J (a 2) (схематично ця залежність представлена на рис.7).
Як випливає з теореми Гюйгенса-Штейнера, цей графік повинен бути прямою лінією, з кутовим коефіцієнтом чисельно рівним 2mгр. так як використовуються два тіла з однаковою масою mгр. -
За допомогою методу найменших квадратів (МНК) побудувати залежність J від a 2. J = B + A * a 2. Визначити помилки значень A і B за формулами МНК. З залежності J (a 2) визначити значення Порівняти отримане значення з масами вантажів mгр. знайденими при зважуванні. Збіг цих величин (з урахуванням похибок обчислень) також вказує на здійсненність теореми Гюйгенса-Штейнера.
Момент інерції порожньої платформи Jпл визначають за формулою 2.15. Виміряти період коливань порожньої платформи Tпл. Повідомляють платформі обертальний імпульс і вимірюють час tn деякого числа (n = 15-20) повних коливань, що дає можливість досить точно визначити величину періоду Tпл Такі вимірювання проводять 3-5 разів. Отримані результати заносять в табл. 2.2.
Таблиця 2.2
Платформу по черзі навантажують досліджуваними тілами таким чином, щоб їх центр мас збігався з віссю обертання платформи (збігалися отвори в тілі і на платформі). Маса цих тіл відома або може бути визначена за допомогою зважування. Як досліджуваних тел вибирають пластини, що мають форму квадрата і рівностороннього трикутника. Вимірюють час tn декількох коливань всієї системи. Для кожного тіла проводять вимірювання 3-5 разів. Результати вимірювань заносять в табл. 2.2. Обробка результатів- За експериментальними даними для кожного досвіду знайти значення величини періоду крутильних коливань.
- Знайти середнє арифметичне значення і середньоквадратичні відхилення для періодів коливань порожньої платформи (Tпл) і платформи з досліджуваними тілами (T2 і T3).
- За формулою (2.15) визначити величини Tпл. T2. T3 і обчислити середньоквадратичні відхилення цих величин.
-
Обчислити моменти інерції квадратної і трикутної пластин за формулами:
Провести порівняння експериментально отриманих значень Jкв і Jтр і з розрахованими теоретично (див. Додаток) за формулами: для рівностороннього трикутника, де m - маса пластини, d - її сторона.
Основні підсумки роботи
В результаті виконання роботи повинна бути проведена перевірка виконання теореми Гюйгенса-Штейнера. Повинно бути також проведено порівняння експериментально знайденого значення моменту інерції для тіла заданої форми з відповідним значенням, розрахованим теоретично.
Контрольні питання
- Що таке головні осі інерції? Центральні осі? Привести приклади.
- Що таке момент інерції тіла відносно закріпленої осі?
- Чому рівні моменти інерції наступних тел: тонка паличка, тонкий диск, тонкі прямокутна і трикутна пластини, циліндр, куля, паралелепіпед? Як їх отримати?
- Матвєєв О.М. Механіка і теорія відносності. 2-е изд. М. Вища школа, 1986, § 31,32,34.
-
Сивухин Д.В. Загальний курс фізики. Том 1. Механіка, 3-е изд. Наука.1989, § 30,35.