Даний посібник призначений для студентів, які вивчають курс «Електротехніка», який може бути успішно засвоєний, якщо теоретичні знання підкріплені відповідними розрахунковими прикладами.
Практика показує, що самостійне рішення задач з даного курсу не завжди доступно студентам. З урахуванням цього в посібнику розглядаються приклади розв'язання типових задач, які виконуються в рамках самостійної роботи студентів. При цьому в кожному прикладі наводяться основні положення і формули, що полегшують проведення розрахунку, а отже, і вивчення відповідного розділу.
У посібнику розглядаються приклади розв'язання задач з розрахунку:
1) розгалужених ланцюгів синусоїдального змінного струму;
2) трифазних ланцюгів.
Слід зазначити, що приклади розв'язання задач ґрунтуються на використанні методу комплексних чисел.
Відомості, наведені в посібнику, дозволяють вирішувати завдання без додаткового довідкового матеріалу.
РОЗРАХУНОК електричних ланцюгів синусоїдального
Змінного струму методом КОМПЛЕКСНИX ЧИСЕЛ
Поняття про комплексні числа. комплексна площину
З курсу вищої математики відомо, що число виду
де і - будь-які дійсні числа, - уявна одиниця, називається комплексним числом в алгебраїчній формі.
При цьому є дійсною (реальної) частиною комплексного числа і позначається. відповідно є уявною частиною комплексного числа і позначається.
Уявна одиниця задовольняє співвідношенню
Якщо. то очевидно, що комплексне число є дійсним числом; і якщо . то комплексне число є чисто уявним числом.
Два комплексних числа і. мають однакові дійсні і протилежні уявні частини, називаються сполученими комплексними числами.
Модуль комплексного числа
Комплексне число можна зобразити точкою або радіус-вектором на комплексній площині (рис. 1.1). При цьому довжина радіус-вектора відповідає модулю комплексного числа, що визначається за формулою (1.3), а кут між дійсною віссю комплексної площини і радіус-вектором відповідає аргументу комплексного числа, що визначається за формулою (1.4).
Примітка: в п. 6 табл. 1.1 не розглядається веде до виникнення невизначеності випадок, коли.
Зверніть увагу, що:
1) Відлік кута зсуву фаз завжди ведеться від вектора струму. Якщо розрахунок дає результати, що не збігаються з положеннями табл. 1.1, отже, в нього вкралася помилка.
2) Векторна діаграма дозволяє зафіксувати положення обертових векторів для певного моменту часу. В електротехніці прийнято, що векторна діаграма будується для нульового моменту часу (t = 0). Побудова векторної діаграми для будь-якого іншого моменту часу може привести до зміни положення векторів щодо осей комплексної площині, проте взаємне розташування векторів залишиться незмінним.
1.8. Повна комплексна потужність
Розглянемо прийом визначення активної і реактивної потужностей через комплекс напруги і пов'язаний комплекс струму.
Вище було показано, що струми і напруги на різних ділянках електричного кола синусоїдального струму можуть не збігатися по фазі.
Нехай до деякої ділянки ланцюга прикладена напруга. Тоді струм, що протікає по цьому ж ділянці,. Помноживши комплекс напруги на зв'язаний комплекс струму. отримаємо комплекс повної потужності (повну комплексну потужність)
(Тильда) над S означає комплекс повної потужності; Р - активна потужність; Q - реактивна потужність.
При цьому активна потужність є дійсною частиною повної комплексної потужності. а реактивна потужність - її уявної частиною і позначаються відповідно:
В (1.27) знак перед визначається характером опору на даній ділянці ланцюга і залежить від кута. Очевидно, що знак «плюс» перед ставиться, якщо. що можливо при виконанні умови; і знак «мінус» - якщо. що можливо при виконанні умови.
Слід зазначити, що одиницею виміру активної потужності Р є ват (Вт); одиницею виміру реактивної потужності Q - вольт-ампер реактивний (Вар); одиницею виміру повної потужності S - вольт-ампер (ВА).
2. РОЗРАХУНОК розгалужені ланцюги синусоїдального
Змінного струму методом КОМПЛЕКСНИX ЧИСЕЛ
2.1. Умова розрахункового завдання №1. варіанти завдання
Відповідно до варіанта завдання (табл.2.2) виконати перетворення розгалуженої ланцюга змінного струму, схема якої представлена на рис. 2.1. Умовно вказати напрямки струмів і напруг.
Користуючись комплексним методом, визначити струми в гілках; перевірити дотримання балансу активної, реактивної і повної потужностей в ланцюзі; визначити коефіцієнт потужності ланцюга; побудувати поєднану векторну діаграму струмів і напруг на комплексній площині.
Параметри елементів ланцюга наведено в табл. 2.1. Один з параметрів електричної енергії, необхідний для розрахунку, заданий в табл. 2.2.
На вході ланцюга (рис. 2.1) діє напруга U. Прилади, показані на рис. 2.1, вимірюють такі параметри: вольтметр - напругу на розгалуженому ділянці ланцюга, прикладена одночасно до другої, третьої і четвертої гілок (в табл. 2.2 це напруга позначено як U2); амперметр - силу струму в четвертої гілки (в табл. 2.2 позначений як струм I4).
Примітка: знак означає, що в даному варіанті завдання зазначена гілка відсутня.
2.2. Приклад рішення розрахункового завдання №1. Методика розрахунку.
Виконати перетворення розгалуженої ланцюга змінного струму, схема якої представлена на рис. 2.1, відповідно до рис. 2.2, умовно вказати напрямки струмів і напруг. Відомими є такі параметри: активний опір (R = 2 Ом); індуктивне опір (XL = 6 Ом); ємнісний опір (XC = 10 Ом); напруга на розгалуженому ділянці ланцюга (U2 = 60 B).
Користуючись комплексним методом, визначити струми в гілках; перевірити дотримання балансу активної, реактивної і повної потужностей в ланцюзі; визначити коефіцієнт потужності схеми; побудувати поєднану векторну діаграму струмів і напруг на комплексній площині.
1. Виконуємо перетворення схеми, представленої на рис. 2.1, відповідно до рис. 2.2. Четверта гілка на рис. 2.3 відсутня, оскільки її повний опір одно нескінченності. Напрямки струмів і напруг умовно вказані на рис. 2.3.
2. На підставі законів Кірхгофа записуємо рівняння для ланцюга, схема якої представлена на рис. 2.3. Позначимо число вузлів буквою У. число гілок буквою В .Кількість рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа, так само (У-1) .Кількість рівнянь, що складаються за другим законом Кірхгофа, дорівнює числу гілок В. Загальна кількість рівнянь, що складаються за законами Кірхгофа, визначають за формулою:
Схема, представлена на рис. 2.3, складається з трьох гілок (В = 3) імає два вузла (а і b), число вузлів (У = 2) .Отже, за першим законом Кірхгофа необхідно записати одне рівняння, а по другому - три, тоді загальна кількість рівнянь визначаємо за формулою (2.1):
На підставі першого закону Кірхгофа для вузла а (див. Рис. 2.3) можемо записати
де - комплексні струми першої, другої і третьої гілок відповідно.
З рис. 2.3 видно, що друга і третя гілки з'єднані паралельно, тому на підставі другого закону Кірхгофа можемо записати
де - комплексне напруга, що підводиться до ланцюга від джерела; - комплексне падіння напруги на першій гілці; - напруга між вузлами a і b (див. Рис. 2.3).
де - комплексні падіння напруги на другий і третій гілках відповідно.
3. На підставі формули (1.21) і рис. 2.3 запишемо повні комплексні опору гілок:
4. Визначаємо комплексні струми другий і третій гілок по закону Ома:
5. На підставі виразу (2.3), записаного за першим законом Кірхгофа для вузла а (див. Рис. 2.3), визначаємо комплексний струм першої гілки
6. Визначаємо діючі значення струмів, які знаходимо шляхом вилучення квадратного кореня з суми квадратів дійсної і уявної частин:
7. Визначаємо комплексне падіння напруги на першій гілці:
8. На підставі виразу (2.4), записаного за другим законом Кірхгофа для схеми (див. Рис. 2.3), визначаємо комплексне напруга, що підводиться до ланцюга:
9. Визначаємо повну комплексну потужність, споживану схемою від джерела:
10. Складаємо баланс потужності. Вважають, що баланс потужності сходиться, якщо повна комплексна потужність, споживана від джерела, дорівнює сумі комплексних потужностей всіх гілок ланцюга:
Активні потужності гілок визначаємо наступним чином:
Визначаємо реактивні потужності гілок. Реактивні елементи в першій гілки відсутні, тому можемо записати
Для другої і третьої гілки отримаємо
Складаємо баланс активної і реактивної потужностей:
Порівнявши результат проведеного вище розрахунку з даними п.10, бачимо, що баланс потужностей сходиться як по активної, так і по реактивної потужностей.
11. Визначаємо коефіцієнт потужності ланцюга:
12. Будуємо поєднану векторну діаграму струмів і напруг на комплексній площині (рис. 2.4). Масштаби: по струму; по напрузі.
Нагадаємо, що в кожному окремому варіанті відомий тільки один з параметрів U. U2. I4. UC. У п. 2.1 розглянуті методика і алгоритм рішення для випадку, коли відомим є напруга U2. Алгоритми рішення для інших можливих варіантів необхідно вибрати з табл. 2.3.
Примітка: - повне комплексне опір паралельно з'єднаних третьої і четвертої гілок; - повне комплексне опір паралельно з'єднаних другий, третій і четвертій гілок; - еквівалентне повне комплексне опір всього ланцюга.
Слід зазначити, що методика розрахунку балансу потужностей, розглянута в п. 2.2, є спільною для всіх варіантів.
2.3. Приблизний перелік контрольних питань при захисті розрахункового завдання №1
1. Що таке комплексне число? В яких формах записи можуть бути представлені комплексні числа?
2. Які дії можна робити над комплексними числами? Яка форма запису комплексних чисел є більш зручною для кожного з розглянутих дій?
3. В чому полягає сутність розрахунку електричних ланцюгів синусоїдального змінного струму методом комплексних чисел?
4. Поставивши законом зміни струму. покажіть його у вигляді вектора на комплексній площині. Чим визначається довжина цього вектора?
5. Поставивши значеннями активного опору R. індуктивності L і ємності C. запишіть комплексне опір в алгебраїчній і показовою формах.
6. Що таке кут зсуву фаз між струмом і напругою, від чого він залежить?
7. Що таке поєднана векторна діаграма на комплексній площині? Яка мета її побудови?
8. Чому при побудові векторної діаграми на комплексній площині відкладають струми і напруги і не відкладають комплексні опору?
9. Запишіть і поясніть вираз закону Ома в комплексній формі.
10. Запишіть і поясніть вираз першого закону Кірхгофа в комплексній формі.
11. Запишіть і поясніть вираз другого закону Кірхгофа в комплексній формі.
12. Запишіть і поясніть вираз для повної потужності в комплексній формі.
13. Поясніть алгоритм вирішення розрахункового завдання №1 для свого варіанту.
14. Поясніть, як визначається кількість рівнянь, що записується на підставі законів Кірхгофа, для схеми свого варіанту.
15. Поясніть методику перевірки балансу потужностей.
16. Поясніть методику побудови векторної діаграми для свого варіанту.
Бібліографічний список до першого і другого розділів
3. ТРЕXФАЗНИЕ ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА
3.1. Трифазна система живлення споживачів електроенергії.
Розширення поняття «фаза». Розрахунок трифазних ланцюгів
Трифазний симетричний джерело живлення являє собою сукупність трьох синусоїдальних ЕРС однакової частоти і амплітуди, зсунутих по фазі на третину періоду (на кут). Закони зміни цих ЕРС в часі можуть бути представлені такими виразами:
Тимчасові діаграми ЕРС трифазного симетричного джерела представлені на рис. 3.1 б. На рис. 3.1 а ці ЕРС представлені у вигляді обертових векторів на площині.
Як трифазних джерел найчастіше використовуються трифазні генератори. На електричних схемах трифазний генератор прийнято зображати у вигляді трьох обмоток, розташованих один до одного під кутом. Кожна обмотка має початок і кінець. Так, початок першої обмотки позначають буквою А. кінець - буквою X; початок другої - буквою В. кінець - буквою Y; початок третьої - літерою С. кінець - буквою Z (див. рис. 3.2 а).
Як вже було сказано, генератор прийнято називати джерелом, а обмотки генератора - фазами джерела. Споживач електроенергії є навантаженням для джерела, тому споживача прийнято називати навантаженням. Під дією напруг джерела по фазах навантаження протікають струми, зрушені відносно один одного по фазі.
Під фазою трифазного ланцюга розуміють ділянку, по якій протікає один і той же струм. Фаза має початок і кінець. Фазою називають також аргумент синусоїдальної функції. Таким чином, в залежності від розглянутого питання фаза - це або ділянку ланцюга, або аргумент синусоидально змінюється функції.
Нехтуючи внутрішніми опорами джерела, можна прийняти відповідні ЕРС джерела рівними напруженням, чинним на його затискачах:
Комплексні фазні напруги симетричного джерела можуть бути представлені у вигляді
де - фазна напруга джерела.
На підставі другого закону Кірхгофа можуть бути визначені комплексні лінійні напруги симетричного джерела (див. Рис. 3.2 а):
Для трифазного симетричного джерела справедливі такі вирази:
Умовні напрямки фазних і лінійних напруг джерела показані на рис. 3.2 а. Між напруженнями трифазного симетричного джерела існують такі співвідношення:
де - лінійна напруга джерела.
Векторна діаграма напруг трифазного симетричного джерела на комплексній площині представлена на рис. 3.2 б.
Трифазні ланцюга є різновидом ланцюгів синусоїдального струму, тому їх розрахунок може бути проведений з використанням розглянутого в разд.1 методу комплексних чисел. Відзначимо, що розрахунок трифазних ланцюгів за допомогою зазначеного методу також супроводжується побудовою суміщеної векторної діаграми.
3.2. Трифазні трипровідні ланцюга при з'єднанні фаз навантаження «зіркою»
Схема трифазного трехпроводной ланцюга при з'єднанні навантаження «зіркою» показана на рис. 3.3. Ланцюг названа трехпроводной за кількістю проводів, що з'єднують навантаження з джерелом.