Одним з методів розкладання функції в ряд є обчислення похідної функції, далі похідну розвивають в ряд (формули Маклорена) і інтеграцією знаходять розкладання функції. На словах це виглядає дещо заплутано, однак такі приклади повинні розкрити суть цієї методики.
Приклад 5.8 Розкласти арктангенс в ряд за ступенями x:
Обчислення: Напряму розкладати арктангенс я б нікому не радив, тому спочатку обчислимо похідну функції:
Позначимо за нову змінну, тоді похідну можемо записати у вигляді
Далі знаменник похідною за формулами Макларена розкладаємо в ряд
Повертаючись до заміни, отримаємо розкладання похідною
Після цього почленно інтегруємо весь ряд і отримаємо кінцеву формулу розкладання арктангенса
Обчислень багато, але на практиці завдання бувають не легше.
Приклад 5.13 Знайти розкладання арктангенса в ряд за ступенями x
Обчислюємо похідну від арктангенса, як від складної функції
Спрощення дозволяють отримати компактний вираз похідної Далі записуємо розклад похідною в ряд з невизначеними коефіцієнтами
Повної схеми приводити зараз не будемо, однак якщо перенести знаменник по праву сторону від знака рівності і прирівняти коефіцієнти при однакових ступенях змінної x то отримаємо розріджену систему рівнянь і в кінці її рішення:
A = 0, B = 2, C = 0, D = 4, E = 0, F = 2, ....
Після цього можемо записати розкладання похідною у вигляді
Якщо запис проинтегрировать, то отримаємо розклад функції за ступенями x
Формула незважаючи на складність розрахунків, досить компактна.
Приклад: 5.19 Знайти розкладання арксинуса в ряд за ступенями x
Обчислення: За наведеною вище схемою спочатку знаходимо похідну як від складної функції:
Розкладаємо похідну в ряд по формулі Маклорена
Інтегрування ряду не викликає ніяких проблем і ми отримуємо фінальний розклад арксинуса в ряд