У тому випадку, якщо ми маємо справу з твердим тілом, яке в загальному випадку має 6 ступенів свободи, то загальна система рівнянь руху повинна містити шість незалежних рівнянь. Їх можна представити у вигляді похідних за часом від двох векторів: імпульсу і моменту імпульсу тіла.
Загальні закони і рівняння руху системи тіл
Довільну систему тел завжди можна звести до системи матеріальних точок. Це видно з того, що окреме тіло кінцевих розмірів завжди подумки можна розбити на такі малі частини (частки), що кожну частину можна розглядати як матеріальну точку. Таким чином, з'ясовуючи загальні закони руху системи тіл, можна виходити з уявлення про систему матеріальних точок. Відповідно, маємо перше рівняння:
де - повний імпульс тіла, - результуюча зовнішніх сил, що діють на тіло.
У разі поступального руху твердого тіла його швидкість швидкості центру мас цього тіла:. Відповідно, основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла має вигляд:
де - маса тіла, - його прискорення.
Друге рівняння руху записується для тіла, що обертається відносно нерухомої точки (полюса), і має вигляд:
де - момент імпульсу, - момент зовнішніх сил, прикладених до тіла.
Рівняння руху твердого тіла
Рівняння динаміки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої точки О, в жорстко пов'язаної з тілом рухомий системі координат (x ', y', z '), початок якої знаходиться в точці О, має вигляд:
де - кутова швидкість обертання тіла, а - відносна похідна за часом від вектора - орти рухомої системи.
Якщо осі рухомої системи координат збігаються з головними осями інерції тіла в точці О, то рівняння руху тіла в проекціях на ці осі мають вигляд:
де - головні моменти інерції тіла в точці О, - проекції вектора кутової швидкості тіла на головні осі інерції, - моменти зовнішніх сил щодо тих же осей. Ці рівняння називають динамічними рівняннями Ейлера.
Рівняння руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі
Рівняння руху тіла, що обертається навколо нерухомої осі (наприклад, осі Оz):
де - момент інерції тіла відносно осі Oz. Якщо тіло не деформується, то - постійна, тоді рівняння руху:
де - кутове прискорення тіла.
Вільне тверде тіло в загальному випадку бере участь одночасно в двох двіженіях- поступальному зі швидкістю центру мас і обертальному навколо центру мас з кутовою швидкістю. Вектори і задовольняють двом диференціальних рівнянь руху вільного тіла (які отримують з 2 і 3), підстановкою відповідних швидкостей центру мас:
де m- маса тіла, - швидкість центру мас, - вектор результуючої зовнішньої сили, - вектор результуючий моментів зовнішніх сил відносно центру мас C,, де - радіус вектор і швидкість малого елемента масою dm в поступально рухається системі координат з початком в точці C.