Біжать хвилями називаються хвилі, які переносять в просторі енергію. Перенесення енергії в хвилях кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Цей вектор, називається вектором щільності потоку. (Для пружних хвиль - вектор Умова).
Теорія про рівняння біжучої хвилі
Коли ми говоримо про рух тіла, то маємо на увазі переміщення в просторі його самого. У разі ж хвильового руху мова йде не про переміщення середовища або поля, а про переміщення збудженого стану середовища або поля. В хвилі певний стан, спочатку локалізоване в одному місці простору, передається (переміщається) в інші, сусідні точки простору.
Стан середовища або поля в даній точці простору характеризується одним або декількома параметрами. Такими параметрами, наприклад, в хвилі, утвореної на струні, є відхилення даної ділянки струни від положення рівноваги (х), в звуковій хвилі в повітрі - це величина, що характеризує стиснення або розширення повітря. в електромагнітній хвилі - це модулі векторів і. Найважливішим поняттям для будь-якої хвилі є фаза. Під фазою розуміється стан хвилі в даній точці і в даний момент часу, описане відповідними параметрами. Наприклад, фаза електромагнітної хвилі задається модулями векторів і. Фаза від точки до точки змінюється. Таким обpазом, фаза хвилі в математичному сенсі є функція координат і часу. З поняттям фази пов'язано поняття хвильової поверхні. Це поверхню, всі точки якої в даний момент часу знаходяться в одній і тій же фазі, тобто це поверхня постійної фази.
Поняття хвильової поверхні і фази дозволяють провести деяку класифікацію хвиль за характером їх поведінки в просторі і часі. Якщо хвильові поверхні переміщаються в просторі (наприклад, звичайні хвилі на поверхні води), то хвиля називається біжить.
Ті, що біжать хвилі можна розділити на: плоскі, сферичні і циліндричні.
Рівняння що біжить плоскої хвилі
або (що одне і те ж)
де під x можна мати на увазі будь-який параметр, що характеризує стан середовища (наприклад, величину тиску, температуру і т.д.); A- амплітуда хвилі; w- циклічна частота; r-відстань від джерела, що збуджує хвилю, до точки простору, в якій розглядається зміна деякого властивості середовища, - швидкість хвилі; - початкова фаза хвилі (вибирається початком відліку). Причому відрізняються зрушенням на - хвильове число; - довжина хвилі ; вираз називається фазою хвилі.
Експоненціальна форма запису рівняння біжучої хвилі
Експоненціальна форма запису рівняння (1) має вигляд:
де - радіус вектор, проведений у розглянуту току середовища; - хвильовий вектор; - одиничний вектор, який вказує напрямок хвилі, - комплексна амплітуда.
Для рівняння (2) необхідно зазначити, що така форма запису зручна для диференціювання хвильових рівнянь. Однак фізичний зміст має тільки речова частина експоненціального виразу.
Рівняння сферичної і циліндричної хвилі, що біжить
У експоненційної формі рівняння сферичної хвилі має вигляд:
де - комплексна амплітуда. Скрізь, крім особливої точки r = 0, функція x задовольняє хвильовому рівнянню.
Рівняння циліндричний біжучої хвилі:
де r - відстань від осі.
де - комплексна амплітуда.
Приклади розв'язання задач
Плоска незатухаюче звукова хвиля збуджується джерелом коливань частоти Амплітуда коливань джерела a. Напишіть рівняння коливань джерела x (0, t), якщо в початковий момент зміщення точок джерела максимально.
Запишемо рівняння біжучої хвилі, знаючи, що вона плоска:
Використовуємо в запису рівняння w =, запишемо (1.1) в початковий момент часу (t = 0):
З умов завдання відомо, що в початковий момент зміщення точок джерела максимально. Отже,.
Отримаємо:. звідси в точці, де розташоване джерело (тобто при r = 0).
На малюнку дано графік зсувів в поздовжньої плоскої біжучої хвилі для деякого моменту часу t. Намалювати під цим графіком приблизний графік щільності енергії w для того ж моменту часу t.
На малюнку дана «моментальна фотографія» зміщення частинок в біжучому хвилі
Виходячи з малюнка хвилю можна описати рівнянням в певний момент t:
У разі поздовжньої плоскої хвилі щільність енергії виражається як:
де - щільність середовища, в якій поширюються хвилі, - швидкість коливального руху частинок вздовж осі x.
підставляючи (2.1) в (2.3), а потім в (2.2), отримуємо:
. Виходячи з отриманої функції Намалюємо графік щільності енергії переноситься хвилею (рис. 2)
