З'ясуємо, яка механічна величина викликає зміна моменту імпульсу матеріальної точки. Візьмемо вираз для моменту імпульсу (4.6) і продифференцируем його за часом
За другим законом Ньютона. Вектори швидкості і імпульсу спрямовані в одну сторону, отже, їх векторний добуток дорівнює нулю. З урахуванням цього співвідношення (4.20) набуде вигляду
де рівнодіюча всіх сил, сумарний момент всіх сил, що діють на матеріальну точку.
Перепишемо рівність (4.21) у вигляді
Співвідношення (4.22) називається рівнянням моментів для матеріальної точки. У ньому йдеться: похідна від моменту імпульсу матеріальної точки відносно заданої точки. дорівнює сумі моментів всіх сил, що діють на матеріальну точку.
Важливо пам'ятати, що якщо система відліку є неінерціальної, то, крім моментів сил взаємодії, необхідно включити в співвідношення (4.22) моменти сил інерції щодо тієї ж точки.
З'ясуємо, за яких умов зберігається момент імпульсу матеріальної точки. З рівняння моментів (4.22) видно, якщо результуючий момент сили відносно деякої точки дорівнює нулю (), то похідна від моменту імпульсу також дорівнює нулю (). Це означає, що відносно цієї точки момент імпульсу буде постійним вектором, тобто . Умова рівності моментів сил виконується для таких сил, які є центральними [6].
Отриманий висновок продемонструємо на наступному прикладі. Нехай супутник рухається навколо Землі по еліптичній орбіті (рис. 4.7). На супутник діє гравітаційна сила, в будь-якій точці траєкторії спрямована до центру Землі. Оскільки точка завжди лежить на лінії дії цієї сили, то її момент відносно цієї точки в будь-який момент часу дорівнює нулю. Силами тяжіння супутника до інших планет сонячної системи, в тому числі і до Сонця, нехтуємо. При русі супутника в будь-якій точці його траєкторії вектор моменту імпульсу буде постійним, тобто . У скалярному вигляді це співвідношення має вигляд
Закон збереження моменту імпульсу разом з законом збереження механічної енергії дозволяють розрахувати траєкторії руху супутників навколо планет. Важливо пам'ятати, що останнє співвідношення справедливо тільки щодо єдиної точки. званої силовим центром сили тяжіння.
Для обчислення зміни моменту імпульсу матеріальної точки за кінцевий проміжок часу. проинтегрируем рівняння моментів (4.22), в результаті отримаємо наступне співвідношення:
Величину, що стоїть в правій частині цього рівняння називають імпульсом моменту рівнодіючої всіх сил.
Розглянемо систему, що складається з матеріальних точок. Нехай на дану систему точок діють зовнішні тіла. Сили, що створюються зовнішніми тілами, назвемо зовнішніми силами. Крім того, матеріальні точки, що утворюють систему, можуть взаємодіяти між собою. Ці сили назвемо внутрішніми силами. Розглянемо матеріальну точку. Позначимо результуючий момент зовнішніх сил. діючих на неї, а суму моментів всіх внутрішніх сил -. причому (частка сама з собою не взаємодіє). Запишемо рівняння моментів для тієї точки
Аналогічні рівняння можна записати і для інших матеріальних точок даної системи. Склавши записані рівняння, отримаємо:
Всі внутрішні сили є парними, причому лінії дії пари сил і збігаються. Плечі цих сил щодо точки однакові. Оскільки ця пара сил задовольняє третім законом Ньютона (), то і моменти цієї пари сил однакові за величиною, але протилежно спрямовані, тобто . Отже, сума моментів внутрішніх сил дорівнює нулю, тобто . Врахуємо, що сума похідних дорівнює похідною від суми, звідки вираз набуде вигляду. результуючий момент імпульсу системи матеріальних точок. Запишемо рівняння (4.26) у вигляді
Рівняння (4.27) називається рівнянням моментів для системи матеріальних точок. Це рівняння можна застосовувати і для системи твердих тіл, тому що тіла можна розбити на нескінченно малі частини, і отримати систему матеріальних точок.
Висновок: Похідна від результуючого моменту імпульсу системи матеріальних точок дорівнює сумі моментів зовнішніх сил, що діють на дану систему.
Зауважимо, що в неінерціальної системи відліку необхідно враховувати моменти сил інерції щодо тієї ж точки.
Приріст моменту імпульсу для системи матеріальних точок обчислюється з наступного співвідношення:
Сформулюємо умови, при виконанні яких зберігається момент імпульсу.
З рівняння (4.27) слід: для того, щоб. необхідно щоб. а це значить, що сума моментів зовнішніх сил повинна дорівнювати нулю, тобто . Остання умова виконується в наступних випадках:
1) зовнішні сили відсутні в замкнутих [7] системах. Звідси випливає, що в замкнутих системах вектор моменту імпульсу залишається постійним. Це твердження називається законом збереження моменту імпульсу. Причому цей закон виконується для будь-якої точки системи відліку;
2) момент імпульсу буде зберігатися з плином часу і в незамкнутих системах, за умови, що сума моментів всіх зовнішніх сил дорівнює нулю. У неінерційних системах відліку до моментів зовнішніх сил необхідно додати момент сил інерції.
Питання для самоконтролю
1. Дайте формулювання рівняння моментів матеріальної точки.
2. Моменти яких сил змінюють момент імпульсу системи?
3. Чому внутрішні сили системи матеріальних точок не змінюють сумарний момент імпульсу?
4. Дайте формулювання рівняння моментів системи матеріальних точок.
5. Сформулюйте умови, при яких момент імпульсу системи матеріальних точок не залежить від часу.
6. Чи можемо ми використовувати закон збереження моменту імпульсу в неінерційних системах відліку?