Отримаємо рівняння плоскої хвилі в однорідному середовищі уздовж осі 0х. збігається з напрямком її поширення. Оскільки в цьому випадку фронт хвилі перпендикулярний 0х. то зміщення s частинок середовища будуть залежати тільки від координати х і моментів часу t. тобто рівняння хвилі буде являти собою функцію - s = f (x, t). Пред-покладемо, що в точці 0 (рис.1) частка робить коливання за гармонійним законом: s = Acos # 969; t. Тоді, очевидно, що коливання в деякій точці М, віддаленої від точки 0 на відстань 0М = х, будуть відбуватися за тим же законом, але з деяким відставанням за часом # 964; від коливань в точці 0:
s = A cos # 969; (t- # 964;) (1)
Якщо позначити швидкість хвилі через u, то час запізнювання, за яке хвиля добіжить від точки 0 до точки М: # 964; = Х / u. і рівняння коливань в довільній точці М на відстані х від джерела набуде вигляду:
s = A cos # 969; (t- # 964;) = A cos # 969; (t -). (2)
Це і є шукане рівняння плоскої біжучої хвилі. Тут: А - амплітуда зміщення частинок середовища від положення рівноваги, # 969; - циклічна частота коливань частинок, # 969; (t -) - фаза коливань в точці з координатою х. u - швидкість плоскої хвилі.
Відстань між найближчими частинками середовища, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі # 955; (Рис.1).
Довжина хвилі дорівнює відстані, на яке поширюється певна фаза коливань за період коливань частинок середовища. тоді # 955; = U # 903; T = u / # 957 ;. Оскільки # 969; = 2π # 957 ;, то (2) можна переписати у вигляді:
s = Acos # 969; (t -) = Acos2π (v t -) = Acos (# 969; t - 2π). (3)
Покажемо, що швидкість поширення хвилі u - це швидкість переміщення фіксованого значення фази. покладемо # 969; (t -) = С, тобто const. Висловимо х. х = u t - Cu / # 969 ;. Продифференцировав цей вислів по t, отримаємо: (С, u. # 969; - величини постійні для даного середовища). Тобто u - це швидкість, з якою переміщається дане значення фази. З цієї причини швидкість хвилі називають також фазовою швидкістю.
Швидкість поширення механічних хвиль залежить від фізичних властивостей середовища. Швидкість поширення поздовжніх хвиль визначається формулою:. Для поперечних хвиль -. Тут r - щільність недеформованою середовища, Е - модуль Юнга, G - модуль зсуву. Е і G - параметри пружності середовища.
Основні властивості хвиль: прямолінійність поширення в однорідному середовищі, відображення і заломлення на межі поділу середовищ, дисперсія, інтерференція і дифракція.