5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
Завдання 39. Дано вислів: "Якщо буде хороша погода і Олексій зустрінеться з Настею, то вони підуть в парк". потрібно:
1) Виділити в висловлюванні атомарні висловлювання,
2) Уявити у вигляді формули логіки висловлювань з використанням імплікації,
3) Скласти таблицю істинності висловлювання,
4) Уявити у вигляді формули логіки висловлювань без імплікації.
1. Атомарні висловлювання;
: "Буде хороша погода",
: "Олексій зустрінеться з Настею",
: "Олексій піде в парк",
: "Настя піде в парк".
2. - уявлення висловлювання у вигляді формули логіки висловлювань.
3. Таблиця істинності висловлювання:
4. Маючи таблицю висловлювання, можна скласти СДНФ () і СКНФ () .СДНФ складають на одиничному наборі, а СКНФ - на нульовому наборі булевої функції.
Оскільки нульовий набір висловлювання значно коротше, ніж одиничний набір (3 нуля і 13 одиниць) складемо СКНФ формули:
Завдання 40. Дана формула алгебри висловлювань
, де атомарні висловлювання,, і визначені в завданню 39.
1) Спростити формулу.
2) Скласти заперечення висловлювання,
3) Записати заперечення висловлювання у вигляді формули, що містить імплікації і перевести її в текст.
1. Користуючись властивостями булевих операцій, отримаємо ланцюжок перетворень:
2. Складемо заперечення висловлювання:
3. Користуючись рівністю, запишемо висловлювання, використовуючи імплікації:
Переведемо висловлювання в текст:
"Якщо буде погана погода, або Олексій не зустріне Настю, або він піде в парк, то при тому, що погода стане хорошою, а Олексій і Настя зустрінуться, Настя в парк не піде".
Завдання 41. Дано формули алгебри висловлювань:,,.
Знайти серед них тавтології і тотожно хибні формули.
Складемо таблиці істинності зазначених в умові висловлювань:
Безліч істинності предиката:, безліч хибності предиката:.
2) Складемо одномісні предикати і висловлювання, пов'язуючи змінні предиката квантора існування і загальності. Кожен отриманий предикат або висловлювання будемо переводити в текстову форму і оцінювати істинність або хибність.
1. - одномісний предикат.
: "При будь-якому значенні,". Вільна змінна -; безліч істинності -, безліч хибності -.
2. - одномісний предикат.
: "Існують такі значення, при яких". Вільна змінна -; безліч істинності -, безліч хибності -.
3. - одномісний предикат.
: "Яким би не було значення,". Вільна змінна -; безліч істинності -, безліч хибності -.
4. - одномісний предикат.
: "Знайдуться такі значення, при яких". Вільна змінна -; безліч істинності -, безліч хибності -.
5. - хибне висловлювання.
: "За будь-яких значеннях змінних і вірно, що".
6. - справжнє висловлювання.
: "Існують такі значення, що при будь-яких значеннях істинно нерівність".
7. - справжнє висловлювання.
: "При будь-якому значенні знайдеться таке значення, що виявиться істинним нерівність". .
8. - справжнє висловлювання.
: "Знайдуться такі значення змінних і, що нерівність виявиться істинним".
Завдання 47. Скласти і записати словами заперечення висловлювання:, якщо "якщо і ділиться на, то ділиться на" (). Визначити значення істинності і.
Складемо заперечення висловлювання:.
Предикат є импликацией,
де "", "ділиться на", "ділиться на".
Уявімо у вигляді диз'юнкції:
. Тоді висловлювання можна прочитати таким чином:
"Яке б не було число, знайдуться такі числа і, що хоча б одна з таких тверджень буде істинним, або не ділиться на або є дільником".
Такий вислів істинно. Справді, вибравши, легко бачити, що принаймні твердження "1 є дільником" виявляється істинним для будь-якого натурального числа.
Складемо заперечення предиката:
Висловлення можна прочитати таким чином:
"Чи знайдеться таке число, що які б не були числа і, буде справедливим є твердження і ділиться на, але на не ділиться".
Оскільки висловлювання є істинним, його заперечення помилково.