«Що значить володіння математикою? Це є вміння розв'язувати задачі.
Причому не тільки стандартні, але й потребують відомої незалежності
мислення, здорового глузду, оригінальності, винахідливості ».
Д. Пойа
- Дидактичні: розглянути застосування методу пошуку найбільших і найменших значень функції до вирішення різноманітних прикладних задач, в першу чергу, завдань на оптимізацію.
- Розвиваючі цілі: розвивати гнучкість мислення, творче ставлення до досліджуваного предмета, формувати незалежність математичного мислення в ході рішення задач.
- Виховні цілі: на прикладі вирішення прикладних завдань з найпростішими життєвими ситуаціями показати застосування методів математичного моделювання, підтримати цим інтерес до предмету.
Вид заняття. Застосування знань, умінь і навичок.
Устаткування. Інтерактивна дошка, картки.
Методи - пояснювально-ілюстративне виклад, ілюстративний і демонстраційний.
- Знаходження найбільшого і найменшого значень функції на проміжку.
- Рішення задач на знаходження найбільшого і найменшого значень
Сучасні вимоги до уроку припускають використання нових підходів у викладанні математики. При підготовці до уроку викладач все частіше використовує комп'ютерні технології. Уроки з використанням презентацій стають більш насиченими, ефективними і дають можливість розвивати у студентів інтерес до предмету, пізнавальну активність, творчий підхід.
На даному уроці застосування інтерактивної дошки має поряд з самою темою привернути увагу студентів до прикладної спрямованості математики. Одночасно текстові задачі розглядаються не тільки як прикладні, а й як розумові маніпулятори. Існує важливе схожість між математикою і дитячою грою: в обох випадках дуже важливо творчу уяву. Потреба в розумових маніпуляціях ніколи не закінчується, вона притаманна і професійним математикам на найвищому рівні.
Рішення будь-якого завдання, особливо складної, вимагає від хлопців напруженої праці і завзятості. А завзятість проявляється, якщо завдання цікава. Значить, потрібно викладачеві підбирати такі завдання, які студенти хотіли б вирішувати. Найчастіше інтерес викликають завдання практичного змісту.
Ще один метод застосований на даному уроці для мотивації рішення прикладних задач: в їх тексти включаються прізвища студентів тієї групи, де йде заняття. Вони стають виконробами, підприємцями, господарями підприємств і т.д.
1. Організаційне початок
Привітання студентів. Перевірка присутніх.
Повідомлення теми заняття і плану роботи, конкретизація завдань і створення мотивації навчальної діяльності. Прийом - розповідний виклад, форма - розповідь-вступ, Для швидкого включення студентів в роботу на екран можна вивести слайд, що містить інформацію про план уроку, його цілі і завдання.
2. Повторення опорних знань студентів.
Провести дидактичну гру «Хрестики- нулики» по темі «Похідна функції». До дошки запрошуються два студента. На дошці підготовлено ігрове поле. Перший, який відповів на запитання викладача по даній темі, отримує право вибрати знак ( «хрестик» або «нулик») для себе і назвати перше віконце ігрового поля. Якщо він вирішує правильно випало йому завдання, то має право поставити в даний віконце свій знак. Якщо йому це не вдається, то право вирішити його віддається другому гравцеві. У підсумку перемагає той, хто закриває своїми значками 3 клітини по діагоналі, горизонталі, вертикалі або більше, ніж 4 клітини.
3. Застосування знань при вирішенні прикладів і завдань.
Сьогодні на занятті ми згадаємо завдання на знаходження найбільшого, найменшого значень функції на проміжку і застосування цієї теми для вирішення завдань. На минулому занятті ми записали алгоритм для цього. Повторимо його (запрошується для відповіді студент, а потім ще раз виводиться на екран).
Знаходження найбільшого і найменшого значень монотонної функції f (x) на відрізку (а; в) досягається на кінцях відрізка. Якщо ж задана функція не є монотонною, але відомо, що вона є безперервною, то для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку застосовується правило:
- Знайти критичні точки функції.
- Знайти значення функції в критичних точках, що належать відрізку, і на кінцях відрізка. Найбільше і найменше значення з цих чисел і будуть відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції на відрізку.
Тепер вирішуємо завдання.
Завдання 1. Молодий підприємець Михайлов Юрій в світлі економічної кризи вирішив викупити нерентабельне провінційне переробне підприємство і запросив економіста Гульдерова Германа допомогти з розрахунками по оптимізації витрат. Одне із завдань поставлених перед Германом була наступна: знайти, за яких умов витрата жерсті на виготовлення консервних банок циліндричної форми заданої ємності буде найменшим.
Згадаймо 3 етапи математичного моделювання, що застосовуються при вирішенні завдань на оптимізацію (показ на екрані):
- 1 етап. Складання математичної моделі.
- 2 етап. Робота з складеної моделлю.
- 3 етап. Відповідь на питання завдання.
1 етап. Складання математичної моделі.
Складання моделі полегшується тим, що відома форма банки і обумовлено, що вона повинна бути заданою ємності. Це істотно для складання моделі. Істотним є також вимога, щоб витрата жерсті на виготовлення банки був мінімальним. Ця вимога означає, що площа повної поверхні банки, що має форму циліндра, повинна бути найменшою; істотні і розміри банки. Несуттєві для складання математичної моделі конкретне (кількісне) значення ємності банки і вид консервів (м'ясних, овочевих), для яких банку призначена.
Позначивши ємність банки через V см³, сформулюємо завдання: Визначити розміри циліндра з об'ємом V см³ так, що б площа його повної поверхні була найменшою.
Для вирішення завдання позначимо радіус основи циліндра через х, а висоту його через h (всі вимірювання в сантиметрах). Тоді обсяг циліндра
Повна поверхня циліндра:
S = 2 x² + 2 x h = 2 x² + 2 x = 2 x² + =.
Так як змінна х може приймати тільки позитивні значення, рішення задачі зводиться до знаходження найменшого значення S (х) на (0;).
2 етап. Робота з складеної моделлю.
Знайдемо похідну S'(х):
Для знаходження критичних точок вирішимо рівняння S'(х) = 0.
Корінь рівняння: х =.
при х <0
Отже, в точці х = S (х) має мінімум.
Отже, функція в цій точці досягає найменшого значення.
Таким чином, площа повної поверхні циліндра, що має об'єм V, буде найменшою при h = 2x = 2 =, тобто коли циліндр рівносторонній.
Найменша витрата жерсті на виготовлення консервних банок циліндричної форми заданої ємності буде досягнуто за умови, що діаметр основи і висота банки рівні між собою.
Корисно звернути увагу хлопців на те, що в нашій країні випускаються щорічно сотні мільйонів банок консервів в жерстяній упаковці. Економія 1% жерсті на виготовлення кожної банки дозволить за рахунок зекономленого матеріалу додатково виготовити кілька мільйонів нових банок. Разом з тим промисловість нерідко випускає консерви в жерстяній тарі, не забезпечуючи найменшу витрату матеріалу на виготовлення банки. Це обумовлено рядом причин: прагненням мінімізації відходів при виготовленні банок, міркуваннями торгової естетики. Розміром транспортних засобів тощо
Завдання 2. Фрагмент розповіді Л.Н. Толстого «Чи багато людині землі потрібно» про селянина Пахомов, купувати землю у башкир.
- А ціна яка буде? - каже Пахом.
- Ціна у нас одна: 1000 рублів за день.
- Яка ж це міра - день? Скільки в ній десятин буде?
- Ми цього, - каже, - не вміємо рахувати. А ми за день продаємо; скільки обійдеш за день. то твоє, а ціна 1000 рублів.
- Та це ж, - каже, - в день обійти землі багато буде.
- Вся твоя, - каже. - Тільки один договір: якщо назад не прийдеш в день до того місця, з якого візьмешся, пропали твої гроші.
Фігура, яка вийшла у Пахома, зображена на малюнку (на екрані).
Оббіг він за день, наприклад, прямокутну трапецію периметром 40 км. З площею S = 78 км.
Перевіримо, найбільшу чи площа при цьому отримав би Пахом (з урахуванням того, що ділянки зазвичай мають форму прямокутника)?
Р = 40 км. a - перша сторона, 20 - а - друга сторона.
S = а (20 - а) = - а² + 20 а.
S'= - 2а + 20 = 0, а = 10.
S'' = - 2 <0
Отже, найбільший чотирикутник - квадрат, тобто найбільша площа - 100 м².
Можна зробити висновок, що пахом цілком міг отримати землі більше з меншими зусиллями.
Позначимо через х довжину сторони вирізуваного квадрата. Легко бачити, що
Обсяг при цьому у коробки:
V = x (80-х) (50 - 2х) = 4х³ - 260х² + 4000х.
V'= 12х² - 520х +4000 = 0,
х = 100: 3 = 33, х = 10.
х - сторонній корінь за змістом завдання.
х = 10 - єдине рішення - висота, 80 - 20 = 60 - довжина, 50 - 20 = 30 - ширина.
V = 10 # 903; 60 # 903; 30 = 18000 (см³).
Завдання для самостійного рішення.
4. Потрібно обгородити прямокутна ділянка землі площею 294 м² та розділити цю земельну ділянку парканом на 2 рівні частини. За яких лінійних розмірах ділянки довжина всього забору виявиться мінімальною? (14 м, 21 м).
Завдання 4. З шматка заліза в формі прямокутного трикутника з катетами 2 м і 4м необхідно вирізати прямокутник найбільшої площі зі сторонами, паралельними катетам трикутника.
S = x (4 - 2x) = 4x - 2x²,
S'= 4 - 4x = 0, x = 1,
S'' = - 4 <0 – т.max
S = 2 # 903; 1 = 2 (см²) - найбільша площа.
Відповідні сторони прямокутника: 1 см, 2 см.
Завдання 5. Розріжте відрізок довжиною 18 см на дві частини так, щоб прийнявши їх за катети, отримати прямокутний трикутник з найменшою гипотенузой.
Завдання 6. Вікно має форму прямокутника, периметр якого дорівнює 8 м. Якими мають бути розміри вікна, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла?
Підведення підсумків заняття.
Студентам пропонується вирішити вдома завдання з задачника і скласти по тексту однієї з них завдання прикладного характеру.