Ознака подібності трикутників за двома кутами
5. Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними
6. Ознака подібності трикутників за трьома сторонами
7. Подібність прямокутних трикутників
8. Кути, вписані в коло
9. Пропорційність відрізків хорд і січних кола
10. Завдання на тему «Подоба фігур»
1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Перетворення фігуриFв фігуруF'називаетсяпреобразованіем подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число раз (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точкіX, YфігуриFпрі перетворенні подібності переходять в точкіX ', Y'фігуриF', тоX'Y '= k-XY, причому чіслоk- одне і те ж для всіх точекX, Y.Чіслоkназиваетсякоеффіціентом подобія.Пріk = lпреобразованіе подібності , очевидно, є рухом.
ПустьF- дана фігура і О - фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точкуXфігуриFлучОХі відкладемо на ньому отрезокОХ ', равнийk # 903; OX, гдеk- позитивне число. Перетворення фігуриF, при якому кожна її точкаXпереходіт в точкуX ', побудовану зазначеним способом, називаетсягомотетіей щодо центру О.Чіслоkназиваетсякоеффіціентом гомотетии, фігуриFіF'називаютсягомотетічнимі.
Теорема 1.Гомотетія є перетворення подібності
Доведення. ПустьО- центр гомотетии, k-коефіцієнт гомотетии, XіY- дві довільні точки фігури (рис.3)
При гомотетии точкіXіYпереходят в точкіX'іY'на лучахОХіOYсоответственно, прічемOX '= k # 903; OX, OY' = k # 903; OY.Отсюда слідують векторні равенстваОХ '= kOX, OY' = kOY.
Перетворення подібності широко застосовується на практиці при виконанні креслень деталей машин, споруд, планів місцевості і ін. Ці зображення є подібні перетворення уявних зображень в натуральну величину. Коефіцієнт подібності при цьому називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1: 100, то це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.
Завдання. На малюнку 4 зображено план садиби в масштабі 1: 1000. Визначте розміри садиби (довжину і ширину).
Рішення. Довжина і ширина садиби на плані рівні - 4 см і 2,7 см. Так як план виконаний в масштабі 1: 1000, то розміри садиби рівні відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Так само як і для руху, доводиться, що при перетворенні подібності три точки, В, С, що лежать на одній прямій, переходять у три точкіА1, В1, С1, також лежать на одній прямій. Причому якщо точкаВлежіт між точками А і С, то точкаВ1лежіт між точкаміА1іС1.Отсюда слід, чтопреобразованіе подібності переводить прямі в прямі, промені в промені, відрізки у відрізки.
Доведемо, чтопреобразованіе подібності зберігає кути між променями.
Дійсно, нехай уголABCпреобразованіем подібності з коеффіціентомkпереводітся в уголА1В1С1 (рис. 5). Піддамо уголABCпреобразованію гомотетии щодо його вершіниВс коефіцієнтом гомотетііk.Прі цьому крапку і Сперейдут в точки А2іС2.ТреугольнікіА2ВС2іА1В1С1равни по третьому ознакою. З рівності трикутників випливає рівність угловА2ВС2іА1В1С1.Значіт, углиABCіА1В1С1равни, що й треба було довести.
3. ПОДОБИЕ ФІГУР
Дві фігури називаютсяподобнимі, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Для позначення подібності фігур використовується спеціальний значок: ∞.ЗапісьF∞F'чітается так: «ФігураFподобна фігуреF '».
слід, чтоX3Y3- k1k2X1Y1.А це означає, що перетворення фігуриF1вF3, що виходить при послідовному виконанні двох перетворень подібності, є подібність. Отже, фігуриF1іF3подобни, що й треба було довести.
Взапісі подібності трикутників: δABC∞ δA1B1C1 -предполагается, що вершини, що суміщаються перетворенням подібності, стоять на відповідних місцях, т. Е.Апереходіт в А1, В -вB1іС- в С1.
З властивостей перетворення подібності випливає, чтоу подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорціональни.Вчастності, у подібних трикутників ABC і А1У1С1
4. ОЗНАКА ПОДОБИ ТРИКУТНИКІВ За двома кутами
Теорема 2.Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
5. ОЗНАКА ПОДОБИ ТРИКУТНИКІВ ПО ДВОХ СТОРІН І РОЗІ МІЖ НИМИ
Теорема 3. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Піддамо треугольнікA1B1C1преобразованію подібності з коефіцієнтом подобіяk, наприклад гомотетии (рис. 8).
Завдання. У треугольнікеABCс гострим угломСпроведени висотиАЕіBD (рис. 9). Доведіть, чтоδABC
Рішення. У треугольніковABCіEDCугол при вершінеСобщій. Доведемо пропорційність сторін трикутників, прилеглих до цього кутку. ІмеемЕС = ACcosγ, DC = ВС соsγ.То є сторони, прилеглі до углуС, у трикутників пропорційні. Значить, δАВС
δEDCподвум сторонам і куту між ними.
6. ОЗНАКА ПОДОБИ ТРИКУТНИКІВ ПО ТРЬОХ СТОРОНАМ
Теорема 4. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
Піддамо треугольнікА1В1С1преобразованію подібності з коефіцієнтом подобіяk, наприклад гомотетии (рис. 10). При цьому отримаємо деякий треугольнікА2В2С2, рівний треугольнікуABC.Действітельно, у трикутників відповідні сторони рівні:
Отже, трикутники рівні за третьою ознакою (за трьома сторонами).
Завдання. Доведіть, що у подібних трикутників периметри відносяться як відповідні сторони.
т. е. периметри трикутників відносяться як відповідні сторони.
7. ПОДОБИЕ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ
У прямокутного трикутника один кут прямий. Тому за теоремою 2для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.
За допомогою цієї ознаки подібності прямокутних трикутників доведемо деякі співвідношення в трикутниках.
ПустьABC- прямокутний трикутник з прямим кутом С. Проведемо висотуCDіз вершини прямого кута (рис. 11).
ТреугольнікіABCіCBDімеют загальний кут при вершині В. Отже, вони подібні до: δABC
δCBD.Із подібності трикутників слід пропорційність відповідних сторін:
Це співвідношення зазвичай формулюють так: катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу.
Прямокутні треугольнікіACDіCBDтакже подібні. У них рівні гострі кути при вершінахАіС.Із подібності цих трикутників слід пропорційність їх сторін:
Це співвідношення зазвичай формулюють так: висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів I на гіпотенузу.
Доведемо наступну властивість бісектриси трикутника: бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
ПустьCD- бісектриса треугольнікаABC (рис. 12). Якщо треугольнікABCравнобедренний з основаніемАВ, то вказане властивість бісектриси очевидно, так як в цьому випадку біссектрісаCDявляется і медіаною.
Розглянемо загальний випадок, когдаАС ≠ ВС.Опустім перпендікуляриAFіBEіз вершин А і В на прямуюCD.
Прямокутні треугольнікіACFіВСЕподобни, так як у них рівні гострі кути при вершінеС.Із подібності трикутників слід пропорційність сторін:
Прямокутні треугольнікіADFіBDEтоже подібні. У них кути при вершінеDравни як вертикальні. З подоби трикутників слід пропорційність сторін:
Порівнюючи це рівність з попереднім, одержимо:
т. е. отрезкіADіBDпропорціональни сторонамАСіВС, що й треба було довести.
8. КУТИ, вписаного в коло
Кут розбиває площину на дві частини. Кожна з частин називаетсяплоскімуглом. На малюнку 13 заштрихован один з плоских кутів зі сторонаміаіЬ.Плоскіе кути із загальними сторонами називаютсядополнітельнимі.
Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими ж сторонами. Якщо плоский кут містить напівплощина, то його градусна міра приймається рівною 360 ° -α, гдеα- градусна міра додаткового плоского кута (рис. 14).
Центральним угломв кола називається плоский кут з вершиною в її центрі. Частина окружності, розташована всередині плоского кута, називаетсядугой окружності, відповідної цьому центральному углу (рис. 15) .Градусной мірою дугіокружності називається градусна міра відповідного центрального кута.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називаетсявпісанним в окружность.УголВАСна малюнку 16 вписаний в коло. Його вершінаАлежіт на колі, а сторони перетинають окружність в точках В і С. Кажуть також, що уголАопірается на хордуВС.ПрямаяВСразбівает окружність на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій з цих дуг, яка не містить точкуА, називається центральним кутом, відповідним даному вписати кутку.
Теорема 5.Угол, вписаний в коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.
Доведення. Розглянемо спочатку окремий випадок, коли одна зі сторін кута проходить через центр кола (рис. 17, а). ТреугольнікАОВравнобедренний, так як у нього сторониOAіОВравни як радіуси. Тому углиA і Втреугольніка рівні. А так як їх сума дорівнює зовнішнього кута трикутника при вершінеО, то уголВтреугольніка дорівнює половині углаАОС, що й треба було довести.
Загальний випадок зводиться до розглянутого окремого випадку проведенням допоміжного діаметраBD (рис. 17, б, в) .У випадку, представленому на малюнку 17, б, АВС = CBD + ABD = ЅCOD + ЅАОD = ЅАОС.
У разі, представленому на малюнку 17, в,
Теорема доведена повністю.
З теореми 5 слід, чтовпісанние кути, сторони яких проходять через точки А і В окружності, а вершини лежать по одну сторону від прямої АВ, рівні (рис. 18). Зокрема, кути, що спираються на діаметр, прямі.
9. пропорційно відрізків хорд і січних ОКРУЖНОСТІ
Якщо хорди АВ і CD кола перетинаються в точці S
Доведемо спочатку, що треугольнікіASDіCSBподобни (рис. 19). Вписані углиDCBіDABравни по слідству з теореми 5. УглиASDіBSCравни як вертикальні. З рівності зазначених кутів слід, що треугольнікіASZіCSBподобни.
З подоби трикутників слід пропорція
Якщо з точки Р до кола проведено дві січні, що перетинають окружність в точках А, В і С, D відповідно, то
Нехай точкіАіС- найближчі до точкеРточкі перетину січних з окружністю (рис. 20). ТреугольнікіPADіРСВподобни. У них кут при вершінеРобщій, а кути при вершинах В іDравни по властивості кутів, вписаних в коло. З подоби трикутників слід пропорція
ОтсюдаPA # 903; PB = PC # 903; PD, що й треба було довести.
10. Завдання на тему «Подоба фігур»
