Одного разу, гортаючи сторінки книги «Тисяча проблемних завдань з математики», я побачила з першого погляду дуже важке завдання, точніше сказати приклад треба було знайти останню цифру суми
1 1989 + 2 1989 + 3 1989 + 4 1989 + 5 1989 + ... + 1989 1989.
Потім я подумала, а адже повинен же бути, якийсь раціональний спосіб обчислення і тут я почала рахувати ...
Гіпотеза: Чи можна сказати якою буде остання цифра у будь-якого ступеня?
· Дізнатися, чи можна побудувати таблицю останніх цифр різних ступенів.
· Знайти закономірність в них.
· Використовуючи таблицю практикуватися на більш легких завданнях і вирішити вищезгаданий приклад і якщо вийде більш складні.
Остання цифра ступеня.
Наведемо невелике дослідження: з'ясуємо чи є якась закономірність в тому, як змінюється остання цифра числа 2 n. де n - натуральне число, зі зміною показника n. Для цього розглянемо таблицю:
Ми бачимо, що через кожні чотири кроки остання цифра повторюється. Помітивши це, неважко визначити останню цифру ступеня 2 n для будь-якого показника n.
Справді, візьмемо число 2 100. Якби ми продовжили таблицю, то воно потрапило б в стовпець, де знаходяться ступеня 2 4. 2 8. 2 12. показники яких кратні чотирьом. Значить, число 2 100. як і ці міри, закінчується цифрою 6.
Візьмемо до прикладу, 2 22. Якщо поштова просто порахувавши, то вийде 4194304 - остання цифра 4.
Тепер спробуємо користуватися таблицею, але в таблиці 4 числа, а показник ступеня 22, проте, після останнього числа цей «коло» починається заново. Тому, показник ступеня 22 ділимо на 4, отримуємо число 5 і залишок 2 тобто ми зробимо 5 «кіл», і відлічимо ще 2 в перед, а друге число - це 4, значить, таблиця працює.
А тепер подивимося, чи можна скласти таблиці для інших чисел. Все описувати не буду, лише скажу, що у мене вийшло скласти таблицю для всіх чисел від 1 до 10, а далі буде повторюватися, припустимо, у 12 останні числа будуть такі ж, як і у 2, а у 25 - так само, як і у 5.
Закономірності зведення в ступінь:
- Запис числа, що є повним квадратом, може закінчуватися лише цифрами 0, 1, 4, 5, 6 або 9.
- Якщо запис числа закінчується цифрою 0, 1, 5 або 6, то зведення в будь-яку ступінь не змінить останні цифри.
- При зведенні будь-якого числа в п'яту ступінь його остання цифра не зміниться.
- Якщо число закінчується цифрою 4 (або 9), то при зведенні в непарну ступінь остання цифра не змінюється, а при зведенні в парну ступінь зміниться на 6 (або 1 відповідно).
- Якщо число закінчується цифрою 2, 3, 7 або 8, то при зведенні в ступінь можливі чотири різних цифри.
Дві останні цифри ступеня.
Ми тепер знаємо, що остання цифра рано чи пізно буде повторюватися. Але як же йде справа з 2-ма останніми цифрами? Я насмілюся припустити, що не тільки 2, але і 3 і більше останніх цифр будуть повторюватися. Що ж перевіримо це, так само я помітила, що періоди з минулого таблиці просто збільшилися в 5 разів, крім чисел 5 і 10, а про число 1 я писати не стала, так як результат завжди буде 1.
Думаю, що таблицю з 3-ма останніми цифрами складати немає сенсу, тому що я хочу знайти раціональні способи, де не треба багато обчислювати, а в цій таблиці, у чисел, яких раніше був період 20 чисел буде по 100, тому я буду складати їх тільки в разі потреби у таких чисел як 4, 5, 6, 7 і 9.
Знайдіть 2 останні цифри числа 8 1989.
У таблиці 2-х останніх цифр, у числа 8 період 20, з показника ступеня віднімаємо 19800, саме стільки разів, період пройде повністю і зупинитися на 1989 - 1980 = 9, а на дев'ятому числі, а 9-е число це 28.
Відповідь: останні 2 цифри числа 8 1989 - 28.
Відповідь: перед помилковим почервонінням хамелеон був жовтим.
Зараз на годиннику 10:00. Який час вони будуть показувати через 102938475 годин?
У годин період повторення дорівнює 24, отже число 102938475 розділити на 24 = 4289103,12 ... 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Отже час яке годинник будуть показувати через 102938475 годин дорівнює 10 + 3 = 13 годин.
Відповідь: через 102938475 годинник будуть показувати 13.00.
Я зрозуміла як можна користуватися цим ознакою, склала таблиці, за допомогою яких можна визначати не тільки 1-ну але і 2 останні цифри і навчилася вирішувати подібні завдання. Думаю що я домоглася того що хотіла.