Реферат з математики учениці 8 г класу Бісеровой Олени
Муніципальне освітній заклад - Гімназія № 47
Великі вчені давнину вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа і їх співвідношення займали найбільші розуми людства. «У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив ... магічні квадрати» - писав Бенджамін Франклін. Магічний квадрат- це квадрат, сума чисел якого в кожному горизонтальному ряду, в кожному вертикальному ряду і по кожній з діагоналей одна і та ж.
Деякі видатні математики присвятили свої роботи магічним квадратах і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриць, порівнянь та інших нетривіальних розділів математики.
Мета цього реферату - знайомство з різними магічними квадратами, латинськими квадратами і вивчення областей їх застосування.
Магічні квадрати.
Повного опису всіх можливих магічних квадратів ніхто не почув і до цих пір. Магічних квадратів 2х2 не існує. Існує єдиний магічний квадрат 3х3, так як інші магічні квадрати 3х3 виходять з нього або поворотом навколо центру, або відображенням відносно однієї з його осей симетрії.
Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами:
У магічному квадраті 3х3 магічною постійної 15 повинні бути рівні сумі трьох чисел у 8 напрямках: по 3 рядках, 3 стовпцях і 2 діагоналям. Так як число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 колонку і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відомо: воно дорівнює 5.
Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел. Ми не можемо помістити його в кут, так як кожна кутова клітина належить 3 трійкам: рядку, стовпці і діагоналі. Отже, число 9 має стояти в якійсь клітині, що примикає до сторони квадрата в її середині. Через симетрії квадрата байдуже, яку з сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоять в центральній клітці. По обидва боки від дев'ятки в верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яка з цих двох чисел виявиться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову - таки не має значення, так як одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному відображенні . Решта клітини заповнюються автоматично. Проведене нами просте побудова магічного квадрата 3х3 доводить його єдиність.
Такий магічний квадрат був у древніх китайців символом великого значення. Цифра 5 в середині означала землю, а навколо неї в строгій рівновазі розташовувалися вогонь (2 і 7), вода (1 і 6),
дерево (3 і 8), метал (4 і 9).
Зі збільшенням розмірів квадрата (числа клітин) швидко зростає кількість можливих магічних квадратів такого розміру. Існує 880 магічних квадратів порядку 4 і 275 305 224 магічних квадратів порядку 5. Причому, квадрати 5х5 були відомі ще в середні століття. Мусульмани, наприклад, дуже благоговійно ставилися до таких квадратом з цифрою 1 в середині, вважаючи його символом єдності Аллаха.
Магічний квадрат Піфагора
Великий вчений Піфагор, який заснував релігійно - філософське вчення, яке проголосило кількісні відносини основою сутності речей, вважав, що сутність людини полягає теж в числі - датою народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я і його потенційні можливості, розкрити переваги і недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення.
Для того, щоб зрозуміти, що таке магічний квадрат Піфагора і як підраховуються його показники, зроблю його розрахунок на своєму прикладі. А щоб переконатися, що результати підрахунку дійсно відповідають реальному характеру тієї чи іншої особистості, спочатку я перевірю його на собі. Для цього я буду робити розрахунок по своїй даті народження. Отже, моя дата народження 20.08.1986. Складемо цифри дня, місяця і року народження (без урахування нулів): 2 + 8 + 1 + 9 + 8 + 6 = 34. Далі складаємо цифри результату: 3 + 4 = 7. Потім з першої суми віднімаємо подвоєну першу цифру дня народження: 34-4 = 30. І знову складаємо цифри останнього числа:
3 + 0 = 3. Залишилося зробити останні складання - 1-й і 3-й і 2-й і 4-й сум: 34 + 30 = 64, 7 + 3 = 10. Отримали числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.
і складаємо магічний квадрат так, щоб всі одиниці цих чисел увійшли в клітинку 1, все двійки - в клітинку 2 і т. д. Нулі при цьому до уваги не беруться. В результаті мій квадрат буде виглядати наступним чином:
Осередки квадрата означають наступне:
Осередок 1 - цілеспрямованість, воля, завзятість, егоїзм.
1 - закінчені егоїсти, прагнуть будь-якому положенні отримати максимальну вигоду.
11 - характер, близький до егоїстичного.
111 - «золота середина». Характер спокійний, поступливий, комунікабельний.
1111 - люди сильного характеру, вольові. Чоловіки з таким характером підходять на роль військових - професіоналів, а жінки тримають свою сім'ю в кулаці.
11111 - диктатор, самодур.
111111 - людина жорстокий, здатний зробити неможливе; нерідко потрапляє під вплив якоїсь - то ідеї.
Осередок 2 - біоенергетика, емоційність, душевність, чуттєвість. Кількість двійок визначає рівень біоенергетики.
Двійок немає - відкритий канал для інтенсивного набору біоенергетики. Ці люди виховані і благородні від природи.
2 - звичайні в біоенергетичному відношенні люди. Такі люди дуже чутливі до змін в атмосфері.
22 - щодо великий запас біоенергетики. З таких людей виходять гарні лікарі, медсестри, санітари. У родині таких людей рідко у кого бувають нервові стреси.
222 - знак екстрасенса.
Осередок 3 - точність, конкретність, організованість, акуратність, пунктуальність, охайність, скупість, схильність до постійного «відновлення справедливості».
Наростання трійок підсилює всі ці якості. З ними людині є сенс шукати себе в науках, особливо точних. Перевага трійок породжує педантів, людей в футлярі.
Осередок 4 - здоров'я. Це пов'язано з екгрегором, тобто енергетичним простором, напрацьованим предками і захищає людину. Відсутність четвірок свідчить про хворобливість людини.
4 - здоров'я середнє, необхідно загартовувати організм. З видів спорту рекомендуються плавання і біг.
44 - здоров'я міцне.
444 і більше - люди з дуже міцним здоров'ям.
Осередок 5 - інтуїція, ясновидіння, що починається проявлятися у таких людей вже на рівні трьох п'ятірок.
П'ятірок немає - канал зв'язку з космосом закритий. Ці люди часто
5 - канал зв'язку відкритий. Ці люди можуть правильно розрахувати ситуацію витягти з неї максимальну користь.
55 - сильно розвинена інтуїція. Коли бачать «віщі сни», можуть передбачати хід подій. Відповідні для них професії - юрист, слідчий.
555 - майже ясновидці.
Осередок 6 - приземленість, матеріальність, розрахунок, схильність до кількісному освоєння світу і недовіра до якісних стрибків і тим більше до чудес духовного порядку.
Шісток немає - цим людям необхідна фізична праця, хоча вони його, як правило, не люблять. Вони наділені неординарним уявою, фантазією, художнім смаком. Тонкі натури, вони тим не менш здатні на вчинок.
6 - можуть займатися творчістю або точними науками, але фізична праця є обов'язковою умовою існування.
66 - люди дуже заземлені, тягнуться до фізичної праці, хоча якраз для них він не обов'язковий; бажана розумова діяльність або заняття мистецтвом.
666 - знак Сатани, особливий і зловісний знак. Ці люди мають підвищений темпераментом, чарівні, незмінно стають в суспільстві центром уваги.
6666 - ці люди в своїх попередніх втіленнях набрали занадто багато заземленности, вони дуже багато працювали і не уявляють своє життя без праці. Якщо в їх квадраті є
дев'ятки, їм обов'язково потрібно займатися розумовою діяльністю, розвивати інтелект, хоча б здобути вищу освіту.
Осередок 7 - кількість сімок визначає міру таланту.
7 - чим більше вони працюють, тим більше отримують згодом.
77 - дуже обдаровані, музичні люди, володіють тонким художнім смаком, можуть мати схильність до образотворчого мистецтва.
777 - ці люди, як правило, приходять на Землю ненадовго. Вони добрі, спокійні, болісно сприймають будь-яку несправедливість. Вони чутливі, люблять мріяти, не завжди відчувають реальність.
7777 - знак Ангела. Люди з таким знаком вмирають в дитинстві, а якщо і живуть, то їх життя постійно загрожує небезпека.
Осередок 8 - карма, борг, обов'язок, відповідальність. Кількість вісімок визначає ступінь почуття боргу.
Вісімок немає - у цих людей майже повністю відсутнє почуття обов'язку.
8 - натури відповідальні, сумлінні, точні.
88 - у цих людей розвинене почуття обов'язку, їх завжди відрізняє бажання допомогти іншим, особливо слабким, хворим, одиноким.
888 - знак великого боргу, знак служіння народу. Правитель з трьома вісімками домагається видатних результатів.
8888 - ці люди мають парапсихологическими здібностями та виключної сприйнятливістю до точних наук. Їм відкриті надприродні шляху.
Осередок 9 - розум, мудрість. Відсутність дев'яток - свідоцтво того, що розумові здібності вкрай обмежені.
9 - ці люди повинні все життя наполегливо працювати, щоб заповнити недолік розуму.
99 - ці люди розумні від народження. Вчаться завжди неохоче, тому що знання даються їм легко. Вони наділені почуттям гумору з іронічним відтінком, незалежні.
999 - дуже розумні. До вчення взагалі не прикладають ніяких зусиль. Прекрасні співрозмовники.
9999 - цим людям відкривається істина. Якщо у них до того ж розвинена інтуїція, то вони гарантовані від провалу в будь-якому зі своїх починань. При цьому вони, як правило, досить
приємні, так як гострий розум робить їх грубими, немилосердними і жорстокими.
Отже, склавши магічний квадрат Піфагора і знаючи значення всіх комбінацій цифр, що входять в його осередку, ви зможете в достатній мірі оцінити ті якості вашої натури, якими наділила матінка - природа.
Латинські квадрати.
Не дивлячись на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.
Латинським квадратом називається квадрат nхn клітин, в яких написані числа 1, 2, ..., n, до того ж так, що в кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються всі ці числа по одному разу. На рис.3 зображено два таких квадрата 4х4. Вони мають цікаву особливість: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари одержані чисел виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.
Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р було доведено, що такого рішення не сушествует. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для інших значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р було доведено, що ортогональних квадратів 6 6 Не існує, і це посилювало впевненість в справедливості гіпотези Ейлера. Однак в 1959 р допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10х10, потім 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n. крім 6, існують ортогональні квадрати nхn.
Магічні і латинські квадрати - близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональних квадрата. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів наступним чином. Поставимо туди число n (a - 1) + b, де а - число в такій клітці першого квадрата, а b - число в такий же клітці другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел в рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.
Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і в її додатках. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на врожайність в даній місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів і вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратний ділянку землі на 16 ділянок (рис.4). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, відповідних нижньої горизонтальній смузі, наступний сорт - на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі, і т. Д. (На малюнку сорт позначений кольором). При цьому максимальна густота посівів нехай буде на тих ділянках, які відповідають
Яке ірраціональне число саме «старе»? Безсумнівно, √2. Ми не знаємо точно, хто перший довів ірраціональність цього числа, проте ми переконані, що зроблено було це приблизно так.
Багато хто думає, що астрофізика почалася з відкриття телескопа Галілеєм, коли люди змогли розглядати природу небесних тіл. Але насправді, її уявлення, "теоретичні передумови", зароджувалися вже в Стародавній Греції.
Теорія графів. Параметри мережного графіка. Найбільш ранній з можливих термінів здійснення тієї чи іншої події. Розрахунок основних часових параметрів. Шлях в мережевому графіку. Небезпека зриву наступу завершального події. Приватний резерв часу.
Рішення рівняння теореми Піфагора в цілих числах. Доказ теореми Ферма в цілих позитивних числах при парних показниках ступеня. Застосування методів вирішення параметричних рівнянь і заміни змінних. Доказ теореми Піфагора.
Поняття - це форма мислення, що відображає предмет в його необхідних, істотних ознаках. Судження - думка, що містить твердження про наявність у дійсності деякого положення справ. Логічний квадрат. Силогізм - дедуктивний умовивід.
Добре знайома школяреві постать квадрат має чотири осі симетрії і центр симетрії. Це означає, що існує п'ять рухів площині: чотири осьові симетрії і одна центральна, при яких квадрат відображається на себе.
Теорема Піфагора і різні алгебраїчні і неалгебраїчні способи її докази.
Парадоксально, але сьогодні, в еру лазерів і супутників, в самому технічно розвиненому суспільстві за всю історію людства процвітає астрологія - пророкування долі об'єкта по розташуванню зірок і планет в момент його народження.
Доказ теореми Піфагора методами елементарної алгебри: методом вирішення параметричних рівнянь в поєднанні з методом заміни змінних. Існування нескінченної кількості трійок піфагорових чисел і, відповідно, прямокутних трикутників.
Області застосування латинських квадратів. Використання систем попарно ортогональних латинських квадратів при побудові сіткових методів інтегрування в математиці. Хроматичні многочлени, підрахунок рішень судоку. Різні симетрії квадратів судоку.
«Умова формування» Діофанта. Завдання про лотосі. Формули для вирішення квадратного рівняння. Рішення кубічних і невизначених рівнянь.
Етапи розвитку натуральних чисел. Суть методу "решето Ератосфена" і проблеми Гольдбаха. Властивості, закони і закономірності фігурних, багатокутних, скоєних, дружніх, товариських цифр. Містичні уявлення про значення 666 і тисячу один.
Кажуть, що наш сонячний світ виник близько 5 мільярдів років тому. Земний світ виник трохи пізніше. Так само говорять, що кінець сонячного світу, а отже і земного, настане так через 6 або 7 мільярдів років.
План: Предмет комбінаторики. 2 Коротка історична довідка. 4 Основні комбінаторні завдання. 5 Основні формули комбінаторики 7 Правило суми. 7 Правило твори. 9
Досягнення давньоєгипетської математики. Джерела, за якими можна судити про рівень знань стародавніх єгиптян. Завдання на арифметичну і геометричну прогресії, знаходження числа Пі, підкреслюють практичний і теоретичний характер давньої математики.
Знайомство з історією появи і назви магічних квадратів. Вивчення способів заповнення магічних квадратів. Реалізація заповнення магічних квадратів за допомогою програми Microsoft Excel. Дослідження кількості рішень поставленого завдання.
Міністерство загальної та професійної освіти Російської Федерації. Державний університет Імені Ярослава Мудрого.
Заходи площі, що використовувалися в Древній Русі, їх еволюція та сучасний стан. Площа багатокутника і прямокутника. Визначення і доказ площі квадрата. Формула площі паралелограма і трикутника, трапеції. Теорема Піфагора.
Уже в далекій давнині люди стежили за появою Сонця над горизонтом, за рухом його по небу, щоб знати, чи скоро воно знову опуститься до горизонту і настане ніч. Відповідно до положення Сонця і зірок людина навчилася визначати час доби.