Муніципальне освітній заклад - Гімназія № 47
Великі вчені давнину вважали кількісні відносини основою сутності світу. Тому числа і їх співвідношення займали найбільші розуми людства. «У дні моєї юності я у вільний час розважався тим, що становив ... магічні квадрати» - писав Бенджамін Франклін. Магічний квадрат- це квадрат, сума чисел якого в кожному горизонтальному ряду, в кожному вертикальному ряду і по кожній з діагоналей одна і та ж.
Деякі видатні математики присвятили свої роботи магічним квадратах і отримані ними результати вплинули на розвиток груп, структур, латинських квадратів, визначників, розбиття, матриць, порівнянь та інших нетривіальних розділів математики.
Мета цього реферату - знайомство з різними магічними квадратами, латинськими квадратами і вивчення областей їх застосування.
Повного опису всіх можливих магічних квадратів ніхто не почув і до цих пір. Магічних квадратів 2х2 не існує. Існує єдиний магічний квадрат 3х3, так як інші магічні квадрати 3х3 виходять з нього або поворотом навколо центру, або відображенням відносно однієї з його осей симетрії.
Розташувати натуральні числа від 1 до 9 в магічний квадрат 3х3 можна 8 різними способами:
У магічному квадраті 3х3 магічною постійної 15 повинні бути рівні сумі трьох чисел у 8 напрямках: по 3 рядках, 3 стовпцях і 2 діагоналям. Так як число, що стоїть в центрі, належить 1 рядку, 1 колонку і 2 діагоналям, воно входить в 4 з 8 трійок, що дають в сумі магічну постійну. Таке число тільки одне: це 5. Отже, число, що стоїть в центрі магічного квадрата 3х3, вже відомо: воно дорівнює 5.
Розглянемо число 9. Воно входить тільки в 2 трійки чисел. Ми не можемо помістити його в кут, так як кожна кутова клітина належить 3 трійкам: рядку, стовпці і діагоналі. Отже, число 9 має стояти в якійсь клітині, що примикає до сторони квадрата в її середині. Через симетрії квадрата байдуже, яку з сторін ми виберемо, тому пишемо 9 над числом 5, що стоять в центральній клітці. По обидва боки від дев'ятки в верхньому рядку ми можемо вписати тільки числа 2 і 4. Яка з цих двох чисел виявиться в правому верхньому кутку і яке в лівому, знову - таки не має значення, так як одне розташування чисел переходить в інше при дзеркальному відображенні . Решта клітини заповнюються автоматично. Проведене нами просте побудова магічного квадрата 3х3 доводить його єдиність.
Такий магічний квадрат був у древніх китайців символом великого значення. Цифра 5 в середині означала землю, а навколо неї в строгій рівновазі розташовувалися вогонь (2 і 7), вода (1 і 6),
дерево (3 і 8), метал (4 і 9).
Зі збільшенням розмірів квадрата (числа клітин) швидко зростає кількість можливих магічних квадратів такого розміру. Існує 880 магічних квадратів порядку 4 і 275 305 224 магічних квадратів порядку 5. Причому, квадрати 5х5 були відомі ще в середні століття. Мусульмани, наприклад, дуже благоговійно ставилися до таких квадратом з цифрою 1 в середині, вважаючи його символом єдності Аллаха.
Магічний квадрат Піфагора
Великий вчений Піфагор, який заснував релігійно - філософське вчення, яке проголосило кількісні відносини основою сутності речей, вважав, що сутність людини полягає теж в числі - датою народження. Тому за допомогою магічного квадрата Піфагора можна пізнати характер людини, ступінь відпущеного здоров'я і його потенційні можливості, розкрити переваги і недоліки і тим самим виявити, що слід зробити для його вдосконалення.
Для того, щоб зрозуміти, що таке магічний квадрат Піфагора і як підраховуються його показники, зроблю його розрахунок на своєму прикладі. А щоб переконатися, що результати підрахунку дійсно відповідають реальному характеру тієї чи іншої особистості, спочатку я перевірю його на собі. Для цього я буду робити розрахунок по своїй даті народження. Отже, моя дата народження 20.08.1986. Складемо цифри дня, місяця і року народження (без урахування нулів): 2 + 8 + 1 + 9 + 8 + 6 = 34. Далі складаємо цифри результату: 3 + 4 = 7. Потім з першої суми віднімаємо подвоєну першу цифру дня народження: 34-4 = 30. І знову складаємо цифри останнього числа:
3 + 0 = 3. Залишилося зробити останні складання - 1-й і 3-й і 2-й і 4-й сум: 34 + 30 = 64, 7 + 3 = 10. Отримали числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.
і складаємо магічний квадрат так, щоб всі одиниці цих чисел увійшли в клітинку 1, все двійки - в клітинку 2 і т. д. Нулі при цьому до уваги не беруться. В результаті мій квадрат буде виглядати наступним чином:
Осередок 1 - цілеспрямованість, воля, завзятість, егоїзм.
1 - закінчені егоїсти, прагнуть будь-якому положенні отримати максимальну вигоду.
11 - характер, близький до егоїстичного.
111 - «золота середина». Характер спокійний, поступливий, комунікабельний.
1111 - люди сильного характеру, вольові. Чоловіки з таким характером підходять на роль військових - професіоналів, а жінки тримають свою сім'ю в кулаці.
11111 - диктатор, самодур.
111111 - людина жорстокий, здатний зробити неможливе; нерідко потрапляє під вплив якоїсь - то ідеї.
Осередок 2 - біоенергетика, емоційність, душевність, чуттєвість. Кількість двійок визначає рівень біоенергетики.
Двійок немає - відкритий канал для інтенсивного набору біоенергетики. Ці люди виховані і благородні від природи.
2 - звичайні в біоенергетичному відношенні люди. Такі люди дуже чутливі до змін в атмосфері.
22 - щодо великий запас біоенергетики. З таких людей виходять гарні лікарі, медсестри, санітари. У родині таких людей рідко у кого бувають нервові стреси.
222 - знак екстрасенса.
Осередок 3 - точність, конкретність, організованість, акуратність, пунктуальність, охайність, скупість, схильність до постійного «відновлення справедливості».
Наростання трійок підсилює всі ці якості. З ними людині є сенс шукати себе в науках, особливо точних. Перевага трійок породжує педантів, людей в футлярі.
Осередок 4 - здоров'я. Це пов'язано з екгрегором, тобто енергетичним простором, напрацьованим предками і захищає людину. Відсутність четвірок свідчить про хворобливість людини.
4 - здоров'я середнє, необхідно загартовувати організм. З видів спорту рекомендуються плавання і біг.
44 - здоров'я міцне.
444 і більше - люди з дуже міцним здоров'ям.
Осередок 5 - інтуїція, ясновидіння, що починається проявлятися у таких людей вже на рівні трьох п'ятірок.
П'ятірок немає - канал зв'язку з космосом закритий. Ці люди часто
5 - канал зв'язку відкритий. Ці люди можуть правильно розрахувати ситуацію витягти з неї максимальну користь.
55 - сильно розвинена інтуїція. Коли бачать «віщі сни», можуть передбачати хід подій. Відповідні для них професії - юрист, слідчий.
555 - майже ясновидці.
Осередок 6 - приземленість, матеріальність, розрахунок, схильність до кількісному освоєння світу і недовіра до якісних стрибків і тим більше до чудес духовного порядку.
Шісток немає - цим людям необхідна фізична праця, хоча вони його, як правило, не люблять. Вони наділені неординарним уявою, фантазією, художнім смаком. Тонкі натури, вони тим не менш здатні на вчинок.
6 - можуть займатися творчістю або точними науками, але фізична праця є обов'язковою умовою існування.
66 - люди дуже заземлені, тягнуться до фізичної праці, хоча якраз
для них він не обов'язковий; бажана розумова діяльність або заняття мистецтвом.
666 - знак Сатани, особливий і зловісний знак. Ці люди мають підвищений темпераментом, чарівні, незмінно стають в суспільстві центром уваги.
6666 - ці люди в своїх попередніх втіленнях набрали занадто багато заземленности, вони дуже багато працювали і не уявляють своє життя без праці. Якщо в їх квадраті є
дев'ятки, їм обов'язково потрібно займатися розумовою діяльністю, розвивати інтелект, хоча б здобути вищу освіту.
Осередок 7 - кількість сімок визначає міру таланту.
7 - чим більше вони працюють, тим більше отримують згодом.
77 - дуже обдаровані, музичні люди, володіють тонким художнім смаком, можуть мати схильність до образотворчого мистецтва.
777 - ці люди, як правило, приходять на Землю ненадовго. Вони добрі, спокійні, болісно сприймають будь-яку несправедливість. Вони чутливі, люблять мріяти, не завжди відчувають реальність.
7777 - знак Ангела. Люди з таким знаком вмирають в дитинстві, а якщо і живуть, то їх життя постійно загрожує небезпека.
Осередок 8 - карма, борг, обов'язок, відповідальність. Кількість вісімок визначає ступінь почуття боргу.
Вісімок немає - у цих людей майже повністю відсутнє почуття обов'язку.
8 - натури відповідальні, сумлінні, точні.
88 - у цих людей розвинене почуття обов'язку, їх завжди відрізняє бажання допомогти іншим, особливо слабким, хворим, одиноким.
888 - знак великого боргу, знак служіння народу. Правитель з трьома вісімками домагається видатних результатів.
8888 - ці люди мають парапсихологическими здібностями та виключної сприйнятливістю до точних наук. Їм відкриті надприродні шляху.
Осередок 9 - розум, мудрість. Відсутність дев'яток - свідоцтво того, що розумові здібності вкрай обмежені.
9 - ці люди повинні все життя наполегливо працювати, щоб заповнити недолік розуму.
99 - ці люди розумні від народження. Вчаться завжди неохоче, тому що знання даються їм легко. Вони наділені почуттям гумору з іронічним відтінком, незалежні.
999 - дуже розумні. До вчення взагалі не прикладають ніяких зусиль. Прекрасні співрозмовники.
9999 - цим людям відкривається істина. Якщо у них до того ж розвинена інтуїція, то вони гарантовані від провалу в будь-якому зі своїх починань. При цьому вони, як правило, досить
приємні, так як гострий розум робить їх грубими, немилосердними і жорстокими.
Отже, склавши магічний квадрат Піфагора і знаючи значення всіх комбінацій цифр, що входять в його осередку, ви зможете в достатній мірі оцінити ті якості вашої натури, якими наділила матінка - природа.
Не дивлячись на те, що математиків цікавили в основному магічні квадрати найбільше застосування в науці і техніці знайшли латинські квадрати.
Латинським квадратом називається квадрат nхn клітин, в яких написані числа 1, 2, ..., n, до того ж так, що в кожному рядку і кожному стовпці зустрічаються всі ці числа по одному разу. На рис.3 зображено два таких квадрата 4х4. Вони мають цікаву особливість: якщо один квадрат накласти на інший, то всі пари одержані чисел виявляються різними. Такі пари латинських квадратів називаються ортогональними.
Ейлер не зміг знайти вирішення цього завдання. У 1901 р було доведено, що такого рішення не сушествует. У той же час Ейлер довів, що ортогональні пари латинських квадратів існують для всіх непарних значень n і для таких парних значень n, які діляться на 4. Ейлер висунув гіпотезу, що для інших значень n, тобто якщо число n при діленні на 4 дасть в залишку 2, ортогональних квадратів не існує. У 1901 р було доведено, що ортогональних квадратів 6 6 Не існує, і це посилювало впевненість в справедливості гіпотези Ейлера. Однак в 1959 р допомогою ЕОМ були знайдені спочатку ортогональні квадрати 10х10, потім 14х14, 18х18, 22х22. А потім було показано, що для будь-якого n. крім 6, існують ортогональні квадрати nхn.
Магічні і латинські квадрати - близькі родичі. Нехай ми маємо два ортогональних квадрата. Заповнимо клітини нового квадрата тих же розмірів наступним чином. Поставимо туди число n (a - 1) + b, де а - число в такій клітці першого квадрата, а b - число в такий же клітці другого квадрата. Неважко зрозуміти, що в отриманому квадраті суми чисел в рядках і стовпцях (але не обов'язково на діагоналях) будуть однакові.
Теорія латинських квадратів знайшла численні застосування як в самій математиці, так і в її додатках. Наведемо такий приклад. Нехай ми хочемо випробувати 4 сорти пшениці на врожайність в даній місцевості, причому хочемо врахувати вплив ступеня розрідженості посівів і вплив двох видів добрив. Для того розіб'ємо квадратний ділянку землі на 16 ділянок (рис.4). Перший сорт пшениці посадимо на ділянках, відповідних нижньої горизонтальній смузі, наступний сорт - на чотирьох ділянках, відповідних наступній смузі, і т. Д. (На малюнку сорт позначений кольором). При цьому максимальна густота посівів нехай буде на тих ділянках, які відповідають лівому вертикальному стовпчику малюнка, і зменшується при переході вправо (на малюнку цьому відповідає зменшення інтенсивності кольору). Цифри ж, що стоять в клітинах малюнка, нехай означають:
перша - кількість кілограмів добрива першого виду, внесеного на цю ділянку, а друга - кількість внесеного добрива другого виду. Неважко зрозуміти, що при цьому реалізовані всі можливі пари сполучень як сорти і густоти посіву, так і інших компонентів: сорти і добрив першого виду, добрив першого і другого видів, густоти і добрив другого виду.
Використання ортогональних латинських квадратів допомагає врахувати всі можливі варіанти в експериментах в сільському господарстві, фізики, хімії, техніці.
У цьому рефераті розглянуті питання, пов'язані з історією розвитку одного з питань математики, який обіймав уми дуже багатьох великих людей, - магічних квадратів. Незважаючи на те, що власне магічні квадрати не знайшли широкого застосування в науці і техніці, вони спонукали на заняття математикою безліч непересічних людей і сприяли розвитку інших розділів математики (теорії груп, визначників, матриць і т.д.).
Найближчі родичі магічних квадратів - латинські квадрати знайшли численні застосування як в математиці, так і в її додатках при постановці і обробці результатів експериментів. У рефераті наведено приклад постановки такого експерименту.
У рефераті також розглянуто питання про квадраті Піфагора, що представляє історичний інтерес і, можливо, корисному для складання психологічного портрета особистості.
1. Енциклопедичний словник юного математика. М. «Педагогіка», 1989р.