(Вказівка: скористайтеся результатами, отриманими на стор. 31 - 33.)
Такі раціональні числа p q. які не можуть бути представлені в
вигляді кінцевих десяткових дробів, розкладаються в нескінченні десяткові дроби за допомогою звичайного прийому «довгого» ділення. На кожному ступені цього процесу виникає залишок, що не рівний нулю, інакше дріб виявилася б кінцевої. Різні виникають залишки можуть бути тільки цілими числами від 1 до q - 1, так що є всього q - 1 можливостей для значень цих залишків. Це означає, що після q поділів деякий залишок k з'явиться вдруге. Але тоді все наступні залишки також будуть повторюватися в тому ж порядку, в якому вони вже з'являлися після першого виникнення залишку k. Таким чином,
десяткове розкладання будь-якого раціонального числа має властивість періодичності; після деякого числа десяткових знаків одна і та ж група десяткових знаків починає повторюватися безліч разів. Наприклад, 1 6 = 0,166666666. ; 1 +7 = +0,142857142857142857. ;
11 +1 = 0,09090909. ; 1100 122 = +0,1109090909. ; 11 90 = 0,122222222. і т. д. (Зауважимо з приводу тих раціональних чисел, які представляються
у вигляді кінцевої десяткового дробу, що у цієї кінцевої дробу можна уявити після останнього її десяткового знака нескінченно повторювану цифру 0, і, таким чином, що розглядаються раціональні числа не виключаються з даної вище загального формулювання.) З наведених прикладів видно, що у деяких з десяткових розкладів, відповідних раціональним числам, періодичному «хвоста» передує неперіодичних «голова».
Назад, можна показати, що все періодичні дроби є раціональні числа. Розглянемо, наприклад, нескінченну періодичну дріб
Можна написати: p = 100 33 + 10 -3 · 2 (1 + 10 -1 + 10 -2 +.). вираз в
§ 2НЕСОІЗМЕРІМИЕ відрізку. Ірраціональні числа, ПРЕДЕЛИ93
У загальному випадку доказ будується таким же чином, але утруднено необхідністю вводити кілька громіздкі позначення. Розглянемо періодичну дріб загального вигляду
p = 0, a 1 a 2 a 3. a m b 1 b 2 b 3. b n b 1 b 2 b 3. b n.
Позначимо через B = 0, b 1 b 2 b 3. b n періодичну частина нашого розкладання. Тоді можна написати
p = 0, a 1 a 2 a 3. a m + 10 -m B (1 + 10 -n + 10 -2n + 10 -3n +.).
Вираз в дужках - нескінченна геометрична прогресія, для якої q = 10 -n. Сума цієї прогресії, відповідно до формули (10) перед-
дущего пункту, дорівнює 1 - 10 -n. і тому
10 -m · B p = 0, a 1 a 2 a 3. a m + 1 - 10 -n.
Вправи. 1) Розкладіть в десяткові дроби наступні раціональні числа: 11 1. 13 1. 13 2. 13 3. 17 1. 17 2. і визначте періоди розкладів.
2) Число 142 857 володіє тим властивістю, що при множенні його на 2, 3, 4, 5 або 6 в ньому відбуваються тільки перестановки цифр. Поясніть це властивість, виходячи з розкладу числа 1 7 ст десяткову дріб.
3) Розкладіть числа, наведені у вправі 1, в нескінченні дробу з підставами 5, 7 і 12.
4) Розкладіть число 1 3 в двійкову дріб.
5) Напишіть розкладання 0,11212121. Встановіть, яке число воно являє при підставах 3 або 5.
5. Загальне визначення ірраціональних чисел за допомогою стягують відрізків. На стор. 82 ми ввели попереднє визначення: «число» є кінцева або нескінченна десяткова дріб. Ми домовилися разом з тим десяткові дроби, що не представляють раціонального числа, називати ірраціональними числами. На основі результатів, отриманих в попередньому пункті, ми можемо тепер запропонувати наступне формулювання: «числовий континуум, або система дійсних чисел (« дійсні »числа протиставляються тут« уявним », або« комплексним », див. § 5), є сукупність різноманітних нескінченних десяткових дробів ». (Приписуючи нулі,
МАТЕМАТИЧНА ЧИСЛОВА СИСТЕМА
можна, як уже було зазначено, кінцеву десяткову дріб написати
у вигляді нескінченної, або є інший спосіб: останню цифру дробу a замінити на a - 1 і до неї приписати незліченна безліч дев'яток. Так, ми бачили, наприклад, що 0,999. = 1, - див. П. 3.)
Раціональні числа суть періодичні дроби; ірраціональні числа суть неперіодичні дроби. Але і таке визначення не видається цілком задовільним: дійсно, ми бачили в главі I, що самою природою речей десяткова система нічим особливим не виділяється з інших можливих; таким же чином можна було б оперувати, наприклад, двійковій системою. З цієї причини є надзвичайно бажаним дати більш загальне визначення числового континууму, незалежне від спеціального вибору підстави 10 або будь-якого іншого. Ймовірно, найпростіший метод для введення такого узагальнення полягає
Розглянемо на числовій осі деяку послідовність I 1. I 2. I 3. I n. відрізків з раціональними кінцями; припустимо, що кожен наступний відрізок міститься в попередньому і що довжина n-го відрізка I n прагне до нуля при необмеженому зростанні n. Таку послідовність «вкладених» один в одного відрізків ми будемо називати послідовністю стягують відрізків. У разі десяткових відрізків довжина I n дорівнює 10 -n. але з таким же успіхом вона могла б рівнятися, скажімо, 2 -n. або можна обмежитися хоча б
тим вимогою, щоб вона була менше n 1. Дамо тепер наступну
формулювання, яку будемо розглядати як основний геометричний постулат: якою б не була послідовність стягують відрізків, існує одна і тільки одна точка числової осі, яка одночасно міститься у всіх відрізках. (Зрозуміло, що існує не більше однієї такої точки, так як довжини відрізків прагнуть до нуля, а дві різні точки не могли б міститися в відрізку, довжина якого була б менше, ніж відстань між точками.) Ця точка, за визначенням, і називається дійсним числом; якщо вона не є раціональною, то називається ірраціональним числом. За допомогою такого визначення ми встановлюємо повну відповідність між точками і числами. Тут не додано нічого істотно нового: всього лише визначенням числа як нескінченного десяткового дробу надана більш загальна форма.
Все ж читача в цьому місці можуть охопити певні сумніви, які слід визнати цілком обґрунтованими. Що ж насправді являє собою та «точка» на числової осі, яка, як ми припускаємо, міститься одночасно в усіх стягують відрізках послідовності в разі, якщо вона не відповідає раціональному числу? Наша відповідь така: існування на числовій осі
§ 2НЕСОІЗМЕРІМИЕ відрізку. Ірраціональні числа, ПРЕДЕЛИ95
Мал. 11. стягують відрізки. межі послідовностей
(Що розглядається як геометричний образ) точки, що міститься у всіх стягують відрізках з раціональними кінцями, є основною геометричний постулат. Немає потреби робити редукцію, приводячи його до інших математичних пропозицій. Ми приймаємо його, як приймаємо в математиці інші аксіоми або постулати, грунтуючись на його інтуїтивної правдоподібності і на його корисності, яка виявляється при побудові логічно послідовної системи математичних пропозицій. Чисто формально ми могли б виходити з числової прямої, яку мислили б як сукупність одних тільки раціональних точок, і потім визначили б ірраціональну точку як
символ, що позначає деяку послідовність стягують відрізків. Ірраціональна точка повністю визначається послідовністю стягують раціональних відрізків, довжини яких прямують до нуля. Значить, наш основний постулат насправді здатний служити визначенням. Прийняти таке визначення, після того як ми були приведені до послідовності стягують відрізків інтуїтивним відчуттям, що стверджують «існування» ірраціональної точки, - значить відкинути «милиці інтуїції», на які спирався наше міркування, і усвідомити, що все математичні властивості ірраціональних точок можуть бути зрозумілі і представляемо як властивості послідовностей стягують відрізків.
З чисто математичної точки зору в даному випадку важливо те обставина, що, прийнявши ухвалу ірраціонального числа як