Клас 10 «Д», ліцей БНТУ, Республіка Білорусь, м.Мінськ
Лях Алла Сатуріновна
науковий керівник, викладач математики, ліцей БНТУ, Республіка Білорусь, м.Мінськ
У даних квадратичних функцій старші коефіцієнти рівні 1 і -1, т. Е. Гілки обох парабол спрямовані в різні боки. Для визначення точок перетину графіків прирівняємо праві частини рівнянь системи (⃰⃰) і
досліджуємо взаємне розташування графіків заданих кривих при різних значеннях їх коефіцієнтів і.
1) Якщо. то параболи мають дві загальні точки.
2) Якщо. то параболи мають одну спільну точку (торкаються один одного).
3) Якщо. то параболи не мають спільних точок.
Тепер проведемо загальні дотичні до парабола:
Нехай загальна дотична стосується параболи в точці. а параболи - в точці (рис. 1):
Напишемо рівняння дотичній для кривої:
Напишемо рівняння дотичній для кривої:
Умова повного збігу двох дотичних є рівність відповідних коефіцієнтів:
Таким чином, ми маємо систему рівнянь:
В результаті перетворень отримаємо рівняння:
1) Якщо. то параболи мають дві загальні точки і в цьому випадку неможливо провести загальну дотичну.
Висновок: для парабол, у яких старші коефіцієнти рівні 1 і -1 і (параболи мають дві загальні точки), загальною дотичній не існує.
2) Якщо. то параболи мають одну спільну точку (торкаються один одного) і в цьому випадку існує єдина загальна дотична, проведена в точці дотику парабол - точка дотику.
Рівняння загальної дотичній має вигляд:
Висновок: для парабол, у яких старші коефіцієнти рівні 1 і -1 і. (Параболи будуть мати одну спільну точку дотику), можна провести одну загальну дотичну в їх точці дотику.
Рівняння дотичної і точка дотику:
3) Якщо. то параболи не мають спільних точок і в цьому випадку можна провести дві загальні дотичні.
Позначимо А і С точки дотику графіків парабол в одному випадку, В і D - в іншому.
Рівняння загальних дотичних має вигляд:
Зауважимо, що чотири точки дотику двох загальних дотичних утворюють чотирикутник ABCD, у якого сторони AB і CD паралельні.
Доведемо, що даний чотирикутник є паралелограма.
Так як координати точок M1 і M2 збігаються, то чотирикутник АBCD - паралелограм.
Висновок: для парабол, у яких старші коефіцієнти рівні 1 і -1 і, (параболи не матимуть спільних точок), можна провести дві загальні дотичні, і точки дотику будуть вершинами паралелограма, дві сторони якого паралельні осі ординат.
Рівняння дотичних і точки дотику:
2.Енціклопедіческій словник юного математика. Упоряд. Савін А.П. М. Педагогіка, 1985. - 352 с .;